Obtenha a equação da circunferência osculatriz ao gráfico de f(x)=x^2 no ponto (0,0). E no ponto (1,4) ?

Passo 1

O enunciado pede a circunferência osculatriz (círculo de curvatura) ao gráfico de f(x)=x^2 nos pontos (0,0) e (1,4). Para isso precisamos de derivadas até segunda ordem, da fórmula do raio de curvatura
R=l(1+(f')^2r)^3/2lvert f''rvert
e da posição do centro de curvatura, que se obtém deslocando o ponto l(x0,f(x0)r) ao longo da normal unitária.

Passo 2

Calculemos f'(x) e f''(x), e escrevamos as fórmulas gerais.
f'(x)=2x, f''(x)=2
O raio de curvatura em x0 é
R=l(1+(2x0)^2r)^3/22 =l(1+4x0^2r)^3/22
A normal unitária apontando para o lado convexo (acima da parábola) em x0 é
n =(-f'(x0),1)raiz1+(f'(x0))^2 =(-2x0,1)raiz1+4x0^2
Logo o centro de curvatura (xc,yc) é
(x0,f(x0))+R,n =l(x0-2x0,(1+4x0^2)2,;x0^2+1+4x0^22r),
isto é
xc=-4x0^3, yc=6x0^2+12

Passo 3

Aplique em (x0,y0)=(0,0).
R(0)=(1+0)^3/22=12, xc=-4cdot0^3=0, yc=6cdot0^2+12=12
A equação da circunferência é
(x-0)^2+(y-tfrac12)^2=l(tfrac12r)^2,
ou seja
x^2+l(y-tfrac12r)^2=tfrac14

Passo 4

Verifiquemos o ponto (1,4). Como f(1)=1neq4, esse ponto não pertence ao gráfico de f(x)=x^2. Portanto não faz sentido definir ali uma circunferência osculatriz.

Resposta

A circunferência osculatriz em (0,0) é
x^2+l(y-tfrac12r)^2=tfrac14
No ponto (1,4) não existe circunferência osculatriz porque (1,4) não está sobre y=x^2.

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