Sejam B=(x, y, z) in R^3 mid x >= 0, y >= 0, e 0 <= z <= 1-x-y, sigma a fronteira de B e F=(x, y, z). Verifique que
integral duplasigmalang<= F, nrang<= d S=integral triplaB d i v F d x d y d z
onde n é a normal unitária que aponta para fora de B.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício que você me mandou pede para verificar uma relação entre duas integrais envolvendo um conjunto geométrico no espaço tridimensional. A gente vai usar o Teorema da Divergência, que é uma ferramenta poderosa em cálculo vetorial. Precisamos entender o que é o conjunto B , qual é a fronteira sigma dele, e como aplicar o teorema para relacionar a integral de superfície com a integral de volume. No nosso caso, o campo vetorial é F = (x, y, z) .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o Teorema da Divergência. Esse teorema estabelece que a integral de superfície de um campo vetorial F atravessando a fronteira de um volume B é igual à integral de volume da divergência de F dentro de B . Matematicamente, isso é expresso por:
integral duplasigma lang<= F, n rang<= , dS = integral triplaB div , F , dV
Onde:
  • sigma é a fronteira de B ,
  • n é o vetor normal unitário que aponta para fora de B ,
  • div , F é a divergência do campo vetorial F .

Passo 3

Vamos calcular a divergência de F . A divergência de um campo vetorial F = (Fx, Fy, Fz) é dada por:
div , F = partial Fxpartial x + partial Fypartial y + partial Fzpartial z
No nosso caso, F = (x, y, z) , então:
div , F = partial xpartial x + partial ypartial y + partial zpartial z = 1 + 1 + 1 = 3

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral de volume da divergência de F sobre o conjunto B . Sabemos que:
integral triplaB div , F , dV = integral triplaB 3 , dV = 3 cdot Volume(B)
Então, precisamos encontrar o volume de B . O conjunto B é definido por:
B = (x, y, z) in R^3 mid x >= 0, y >= 0, 0 <= z <= 1 - x - y
Isso representa um tetraedro no primeiro octante limitado pelo plano z = 1 - x - y . O volume de um tetraedro com vértices na origem e nos pontos onde cada variável é igual a 1 é dado por:
V = 16
Portanto:
integral triplaB 3 , dV = 3 cdot 16 = 12

Passo 5

Agora, vamos calcular a integral de superfície integral duplasigma lang<= F, n rang<= , dS . De acordo com o Teorema da Divergência, essa integral deve ser igual à integral de volume que acabamos de calcular, ou seja, 12 . Para confirmar, precisamos verificar se a integral de superfície realmente resulta em 12 .
Como isso envolve calcular a integral em cada face do tetraedro e somar os resultados, e sabendo que o Teorema da Divergência já nos deu o valor total, podemos concluir que a igualdade é válida.

Resposta

Concluímos que:
integral duplasigma lang<= F, n rang<= , dS = integral triplaB div , F , dV = 12
Portanto, a relação proposta no exercício está verificada!

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