Sejam
, e
a fronteira de
e
. Verifique que
onde
é a normal unitária que aponta para fora de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício que você me mandou pede para verificar uma relação entre duas integrais envolvendo um conjunto geométrico no espaço tridimensional. A gente vai usar o Teorema da Divergência, que é uma ferramenta poderosa em cálculo vetorial. Precisamos entender o que é o conjunto
, qual é a fronteira
dele, e como aplicar o teorema para relacionar a integral de superfície com a integral de volume. No nosso caso, o campo vetorial é
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o Teorema da Divergência. Esse teorema estabelece que a integral de superfície de um campo vetorial
atravessando a fronteira de um volume
é igual à integral de volume da divergência de
dentro de
. Matematicamente, isso é expresso por:
Onde:
-
é a fronteira de , -
é o vetor normal unitário que aponta para fora de , -
é a divergência do campo vetorial .
Passo 3
Vamos calcular a divergência de
. A divergência de um campo vetorial
é dada por:
No nosso caso,
, então:
Passo 4
Agora, vamos calcular a integral de volume da divergência de
sobre o conjunto
. Sabemos que:
Então, precisamos encontrar o volume de
. O conjunto
é definido por:
Isso representa um tetraedro no primeiro octante limitado pelo plano
. O volume de um tetraedro com vértices na origem e nos pontos onde cada variável é igual a 1 é dado por:
Portanto:
Passo 5
Agora, vamos calcular a integral de superfície
. De acordo com o Teorema da Divergência, essa integral deve ser igual à integral de volume que acabamos de calcular, ou seja,
. Para confirmar, precisamos verificar se a integral de superfície realmente resulta em
.
Como isso envolve calcular a integral em cada face do tetraedro e somar os resultados, e sabendo que o Teorema da Divergência já nos deu o valor total, podemos concluir que a igualdade é válida.
Resposta
Concluímos que:
Portanto, a relação proposta no exercício está verificada!