Use simetria para calcular as integrais:
integral-50^50(x^17-x^15+3 x^11+12 x^9-x^5-x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral usando simetria! O exercício pede para calcular a integral de uma função polinomial de -50 a 50. A matéria que vamos usar aqui é cálculo de integrais, especificamente utilizando as propriedades de funções ímpares e pares para simplificar o cálculo. Para isso, precisamos identificar se a função dentro da integral é ímpar ou par.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são funções ímpares e pares. Uma função f(x) é par se f(-x) = f(x) para todo x, e é ímpar se f(-x) = -f(x). Essa classificação ajuda a simplificar integrais, especialmente quando os limites de integração são simétricos, como de -a a a.

Passo 3

Agora, vamos analisar a função dentro da integral:
f(x) = x^17 - x^15 + 3x^11 + 12x^9 - x^5 - x
Todos os termos dessa função têm potências ímpares de x. Vamos verificar se f(-x) = -f(x):
f(-x) = (-x)^17 - (-x)^15 + 3(-x)^11 + 12(-x)^9 - (-x)^5 - (-x) = -x^17 + x^15 - 3x^11 - 12x^9 + x^5 + x = -f(x)
Então, f(-x) = -f(x), o que significa que f(x) é uma função ímpar.

Passo 4

Sabendo que a função é ímpar, podemos usar uma propriedade importante das integrais: a integral de uma função ímpar em um intervalo simétrico [-a, a] é sempre zero. Matematicamente, isso é representado por:
integral-a^a f(x) , dx = 0 se f(x) for ímpar í
Como nossa função f(x) é ímpar e os limites de integração são -50 a 50, podemos concluir que a integral vale zero sem precisar calcular cada termo.

Resposta

A integral vale 0.

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