Use simetria para calcular as integrais:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral usando simetria! O exercício pede para calcular a integral de uma função polinomial de
a
. A matéria que vamos usar aqui é cálculo de integrais, especificamente utilizando as propriedades de funções ímpares e pares para simplificar o cálculo. Para isso, precisamos identificar se a função dentro da integral é ímpar ou par.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são funções ímpares e pares. Uma função
é par se
para todo
, e é ímpar se
. Essa classificação ajuda a simplificar integrais, especialmente quando os limites de integração são simétricos, como de
a
.
Passo 3
Agora, vamos analisar a função dentro da integral:
Todos os termos dessa função têm potências ímpares de
. Vamos verificar se
:
Então,
, o que significa que
é uma função ímpar.
Passo 4
Sabendo que a função é ímpar, podemos usar uma propriedade importante das integrais: a integral de uma função ímpar em um intervalo simétrico
é sempre zero. Matematicamente, isso é representado por:
Como nossa função
é ímpar e os limites de integração são
a
, podemos concluir que a integral vale zero sem precisar calcular cada termo.
Resposta
A integral vale
.