Use simetria para calcular as integrais:
integral-2^2(5 x^4-3 x^2+4) d x

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a gente precisa fazer aqui. A gente tem que calcular a integral definida de 5x^4 - 3x^2 + 4 de -2 a 2. O assunto envolvido é cálculo de integrais, mais especificamente usando a simetria das funções pra facilitar a conta. Pra isso, vamos precisar identificar se a função é par ou ímpar.

Passo 2

Primeiro, vamos ver se a função f(x) = 5x^4 - 3x^2 + 4 é par ou ímpar. Lembra como disso? Uma função é par se f(-x) = f(x) e ímpar se f(-x) = -f(x).
Vamos calcular:
f(-x) = 5(-x)^4 - 3(-x)^2 + 4 = 5x^4 - 3x^2 + 4 = f(x)
Então, a função é par.

Passo 3

Como a função é par e a gente está integrando de -2 a 2, podemos simplificar usando a simetria. A gente sabe que:
integral-a^a f(x) , dx = 2 integral0^a f(x) , dx
Aplicando isso aqui:
integral-2^2 (5x^4 - 3x^2 + 4) , dx = 2 integral0^2 (5x^4 - 3x^2 + 4) , dx
Isso deixa a conta mais fácil porque agora só precisamos integrar de 0 a 2.

Passo 4

Agora, vamos integrar cada termo separadamente dentro de integral0^2 (5x^4 - 3x^2 + 4) , dx:
  1. Integrando 5x^4:
integral 5x^4 , dx = 5 cdot x^55 = x^5
Avaliado de 0 a 2:
2^5 - 0 = 32
  1. Integrando -3x^2:
integral -3x^2 , dx = -3 cdot x^33 = -x^3
Avaliado de 0 a 2:
-(2^3) - 0 = -8
  1. Integrando 4:
integral 4 , dx = 4x
Avaliado de 0 a 2:
4 cdot 2 - 0 = 8
Agora, somamos tudo:
32 - 8 + 8 = 32

Passo 5

Lembrando que utilizamos a simetria, multiplicamos o resultado por 2:
2 cdot 32 = 64

Resposta

A integral integral-2^2(5 x^4-3 x^2+4) dx é igual a 64.

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