Calcule as integrais definidas usando o Teorema Fundamental do Cálculo (2a Parte): (Funções do livro texto)
integral1^2 v^3+3 v^6v^4 d v

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral1^2 v^3+3v^6v^4,dv
usando o Teorema Fundamental do Cálculo (segunda parte). Vamos precisar simplificar o integrando e depois encontrar uma primitiva F(v) tal que
integral1^2 f(v),dv = F(2) - F(1)

Passo 2

Simplificamos o integrando dividindo cada termo por v^4:
v^3+3v^6v^4 = v^3-4 + 3v^6-4 = v^-1 + 3v^2
Logo a integral vira
integral1^2l(v^-1 + 3v^2r),dv

Passo 3

Encontramos uma primitiva F(v) de f(v)=v^-1+3v^2. Sabemos que
integral v^-1,dv = lnlvert vrvert e integral 3v^2,dv = v^3
Portanto, podemos escolher
F(v) = lnlvert vrvert + v^3

Passo 4

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo,
integral1^2 f(v),dv = F(2) - F(1)
Calculando,
F(2) = ln(2) + 2^3 = ln(2) + 8, F(1) = ln(1) + 1^3 = 0 + 1 = 1
Logo
integral1^2v^3+3v^6v^4,dv = l(ln(2)+8r) - 1 = ln(2) + 7

Resposta

ln(2) + 7

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