Determine r^prime(t).
r(t)=(1+t)^2 i+cos t j+ln (1-t) k

Passo 1

O enunciado nos dá a função vetor
r(t) = (1+t)^2,i + cos t,j + ln(1-t),k
e pede a sua derivada r'(t). Vamos usar a regra de derivação componente a componente.

Passo 2

Derivamos cada componente separadamente, lembrando que:
– A derivada de (1+t)^2 é 2(1+t).
– A derivada de cos t é -sin t.
– A derivada de ln(1-t) é 11-tcdot(-1)=-11-t.

Passo 3

Derivada da primeira componente:
ddtl((1+t)^2r)=2(1+t)

Passo 4

Derivada da segunda componente:
ddtl(cos tr)=-sin t

Passo 5

Derivada da terceira componente:
ddtl(ln(1-t)r)=-11-t

Passo 6

Reunindo as três componentes, obtemos
r'(t)=2(1+t),i ;-;sin t,j;-;11-t,k

Resposta

r'(t)=2(1+t),i-sin t,j-11-t,k

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