Calcule as integrais definidas usando o Teorema Fundamental do Cálculo (2a Parte): (Funções do livro texto)
integral0^1(x^e+e^x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
integral0^1l(x^e+e^xr),dx
usando o Teorema Fundamental do Cálculo (Parte 2). Ou seja, precisamos encontrar uma antiderivada F(x) de f(x)=x^e+e^x e depois avaliar F(1)-F(0).

Passo 2

Para achar a antiderivada de x^e, usamos a regra do “expoente genérico”:
integral x^e,dx=x^e+1e+1+C,
pois e aqui é tratado como constante. Já para e^x, sabemos que
integral e^x,dx=e^x+C

Passo 3

Somando as duas antiderivadas, uma primitiva de f(x) é
F(x)=x^e+1e+1+e^x
Pelo Teorema Fundamental do Cálculo (Parte 2),
integral0^1l(x^e+e^xr),dx =F(1)-F(0)

Passo 4

Calculamos F(1) e F(0):
  • F(1)=dfrac1^e+1e+1+e^1=dfrac1e+1+e
  • F(0)=dfrac0^e+1e+1+e^0=0+1=1
    Logo,
F(1)-F(0) =l(1e+1+er)-1 =1e+1+e-1

Resposta

integral0^1l(x^e+e^xr),dx =1e+1+e-1

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