Determine se as sequências abaixo convergem ou divergem:
(3 n^4-7 n^2+56-4 n^4)n in N, (raiz2 n+13 n+5)n in N e (sen(n) sen(1 / n))n in N

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem três sequências aqui e precisa descobrir se cada uma delas converge (tem um limite) ou diverge (não tem limite). Para isso, vamos usar alguns conceitos de análise de sequências, como o comportamento de termos quando n cresce bastante, e propriedades de funções trigonométricas e radicais.

Passo 2

Primeira Sequência:
(3n^4 - 7n^2 + 56 - 4n^4)n in N
Aqui, observamos que tanto o numerador quanto o denominador são polinômios de grau 4. Quando temos frações de polinômios, o comportamento para n grande é determinado pelos maiores graus.
Vamos simplificar dividindo cada termo pelo n^4 :
3n^4 - 7n^2 + 56 - 4n^4 = 3 - 7n^2 + 5n^46n^4 - 4
Quando n vai para o infinito, os termos com 1n^k vão a zero. Assim, a expressão simplifica para:
3-4 = -34
Conclusão: A primeira sequência converge para -34 .

Passo 3

Segunda Sequência:
(raiz2n + 13n + 5)n in N
Vamos analisar o que acontece dentro da raiz para n grande. Dividimos numerador e denominador por n :
2n + 13n + 5 = 2 + 1n3 + 5n
Quando n tende ao infinito, os termos com 1n desaparecem, ficando:
23
Então, a raiz da fração fica:
raiz23
Conclusão: A segunda sequência converge para raiz23 .

Passo 4

Terceira Sequência:
(sin(n) sin(1/n))n in N
Vamos separar os termos:
  1. sin(1/n): Para n grande, 1n vai para zero. E sabemos que sin(x) approx x quando x é pequeno. Então, sin(1/n) approx 1n .
  2. sin(n): O seno de n (em radianos) oscila entre -1 e 1 e não tem um limite definido quando n cresce. Ou seja, sin(n) não converge.
Então, multiplicando os dois:
sin(n) sin(1/n) approx sin(n) cdot 1n
O termo 1n tende a zero, mas como sin(n) não converge e está sendo multiplicado por algo que tende a zero, o comportamento da sequência depende da oscilação de sin(n) . Na verdade, essa sequência oscila entre -1n e 1n , ou seja, também tende a zero.
Conclusão: A terceira sequência converge para 0 .

Resposta

  1. A primeira sequência converge para -34 .
  2. A segunda sequência converge para raiz23 .
  3. A terceira sequência converge para 0 .

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