Determine se as sequências abaixo convergem ou divergem:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem três sequências aqui e precisa descobrir se cada uma delas converge (tem um limite) ou diverge (não tem limite). Para isso, vamos usar alguns conceitos de análise de sequências, como o comportamento de termos quando
cresce bastante, e propriedades de funções trigonométricas e radicais.
Passo 2
Primeira Sequência:
Aqui, observamos que tanto o numerador quanto o denominador são polinômios de grau 4. Quando temos frações de polinômios, o comportamento para
grande é determinado pelos maiores graus.
Vamos simplificar dividindo cada termo pelo
:
Quando
vai para o infinito, os termos com
vão a zero. Assim, a expressão simplifica para:
Conclusão: A primeira sequência converge para
.
Passo 3
Segunda Sequência:
Vamos analisar o que acontece dentro da raiz para
grande. Dividimos numerador e denominador por
:
Quando
tende ao infinito, os termos com
desaparecem, ficando:
Então, a raiz da fração fica:
Conclusão: A segunda sequência converge para
.
Passo 4
Terceira Sequência:
Vamos separar os termos:
-
: Para grande, vai para zero. E sabemos que quando é pequeno. Então, . -
: O seno de (em radianos) oscila entre -1 e 1 e não tem um limite definido quando cresce. Ou seja, não converge.
Então, multiplicando os dois:
O termo
tende a zero, mas como
não converge e está sendo multiplicado por algo que tende a zero, o comportamento da sequência depende da oscilação de
. Na verdade, essa sequência oscila entre
e
, ou seja, também tende a zero.
Conclusão: A terceira sequência converge para
.
Resposta
- A primeira sequência converge para
. - A segunda sequência converge para
. - A terceira sequência converge para
.