Use o teste da divergência para mostrar que as séries sumn=1^infty n3 n-1 e sumn=1^infty cos (1 / n^2) divergem.

Passo 1

O enunciado pede para usar o teste da divergência em duas séries:
sumn=1^infty n3n-1 e sumn=1^infty cos!l(1/n^2r)
O teste da divergência diz que, se para uma série sum an tivermos
limntoinftyanneq 0,
então a série diverge.

Passo 2

Para a primeira série, o termo geral é
an = n3n-1
Calculamos
limntoinfty n3n-1 = limntoinfty 13 - 1/n = 13neq 0
Pelo teste da divergência, como lim anneq 0, concluímos que
sumn=1^infty n3n-1 diverge.

Passo 3

Para a segunda série, o termo geral é
bn = cos!l(1/n^2r)
Como 1/n^2to 0 quando ntoinfty, temos
limntoinfty cos!l(1/n^2r) = cos(0) = 1neq 0
Novamente, pelo teste da divergência, sumn=1^infty cos(1/n^2) diverge.

Passo 4

Em ambos os casos, o termo geral não tende a zero, logo as duas séries divergem pelo teste da divergência.

Resposta

Ambas as séries divergem.

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