Encontre uma fórmula para o termo geral da sequência dada na forma recursiva a1=1 / 2 e an=an-1+(1 / 2)^n, para n >= 2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma sequência definida de forma recursiva onde o primeiro termo é a1 = 12e e cada termo seguinte é dado por an = an-1 + (12)^n para n >= 2 . Nosso objetivo é encontrar uma fórmula que nos dê qualquer termo dessa sequência sem precisar calcular todos os anteriores. Para isso, vamos precisar entender como somar termos de uma sequência geométrica e lidar com a parte recursiva.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a definição da sequência para facilitar nossa análise:
an = an-1 + (12)^n
Isso significa que cada termo é o termo anterior mais (12)^n . Para encontrar uma fórmula geral, precisamos somar todos esses incrementos desde o primeiro termo até o enésimo termo.

Passo 3

Vamos expandir a definição recursiva para ver um padrão:
a1 &= 12e a2 &= a1 + (12)^2 = 12e + 14 a3 &= a2 + (12)^3 = 12e + 14 + 18 &vdots an &= 12e + 14 + 18 + cdots + (12)^n
Percebemos que estamos somando uma série geométrica desde n = 2 até o termo n .

Passo 4

Sabemos que a soma de uma série geométrica finita é dada por:
S = a1 (1 - r^k)1 - r
onde a1 é o primeiro termo, r é a razão e k é o número de termos. No nosso caso, a série que estamos somando começa em n = 2 , então precisamos ajustar a fórmula.

Passo 5

Vamos considerar a série a partir de n = 1 :
S = sumk=1^n (12)^k = 12 (1 - (12)^n)1 - 12 = 1 - (12)^n
Mas como nossa série começa em n = 2 , temos:
sumk=2^n (12)^k = S - (12)^1 = 1 - (12)^n - 12 = 12 - (12)^n

Passo 6

Agora, voltando à nossa expressão para an :
an = 12e + sumk=2^n (12)^k = 12e + 12 - (12)^n

Passo 7

Simplificando a expressão:
an = 12e + 12 - (12)^n
Podemos combinar os termos constantes:
an = 12(1 + 1e) - (12)^n

Resposta

A fórmula para o termo geral da sequência é:
an = 12(1 + 1e) - (12)^n

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