Encontre uma fórmula para o termo geral da sequência dada na forma recursiva
, para
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma sequência definida de forma recursiva onde o primeiro termo é
e cada termo seguinte é dado por
para
. Nosso objetivo é encontrar uma fórmula que nos dê qualquer termo dessa sequência sem precisar calcular todos os anteriores. Para isso, vamos precisar entender como somar termos de uma sequência geométrica e lidar com a parte recursiva.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a definição da sequência para facilitar nossa análise:
Isso significa que cada termo é o termo anterior mais
. Para encontrar uma fórmula geral, precisamos somar todos esses incrementos desde o primeiro termo até o enésimo termo.
Passo 3
Vamos expandir a definição recursiva para ver um padrão:
Percebemos que estamos somando uma série geométrica desde
até o termo
.
Passo 4
Sabemos que a soma de uma série geométrica finita é dada por:
onde
é o primeiro termo,
é a razão e
é o número de termos. No nosso caso, a série que estamos somando começa em
, então precisamos ajustar a fórmula.
Passo 5
Vamos considerar a série a partir de
:
Mas como nossa série começa em
, temos:
Passo 6
Agora, voltando à nossa expressão para
:
Passo 7
Simplificando a expressão:
Podemos combinar os termos constantes:
Resposta
A fórmula para o termo geral da sequência é: