Use o teste da integral para estudar a convergência das séries sumn=1^infty 1raiz2 n-1 e sumn=1^infty n3 n^2+1.

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência das séries
sumn=1^infty 1raiz2n-1 e sumn=1^infty n3n^2+1
usando o teste da integral. Para isso, definimos funções contínuas, positivas e decrescentes f(x) tais que f(n)=an, e comparamos a convergência de sum an com a de integral1^inftyf(x),dx.

Passo 2

Para a série sumn=1^infty1raiz2n-1, tomamos
f(x)=1raiz2x-1, x>=1
Observamos que f(x)>0 e, derivando,
f'(x)=-12(2x-1)^-3/2cdot2=-,(2x-1)^-3/2<0para x>=1,
logo f é decrescente. Calculamos a integral:
integral1^infty1raiz2x-1,dx =integralu=1^infty1raizucdotdu2 =12integral1^inftyu^-1/2du =12l[2u^1/2r]1^infty =l[u^1/2r]1^infty =infty
Como a integral diverge, a série também diverge pelo teste da integral.

Passo 3

Para a série sumn=1^inftyn3n^2+1, tomamos
f(x)=x3x^2+1, x>=1
Temos f(x)>0 e
f'(x)=(3x^2+1)-6x^2(3x^2+1)^2 =1-3x^2(3x^2+1)^2<0para x>=1,
logo f é decrescente. Agora a integral:
integral1^inftyx3x^2+1,dx =16integral1^infty6x3x^2+1,dx = 16integralu=4^inftyduu =16l[ln ur]4^infty =infty
A integral diverge, portanto a série diverge pelo teste da integral.

Resposta

A primeira série diverge.
A segunda série diverge.

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