Calcule as integrais e derive o resultado para conferir a resposta.

Passo 1

Neste exercício queremos calcular a integral integral sec^2alpha(cos^3alpha+1),dalpha e depois confirmar derivando o resultado. O assunto é integração de funções trigonométricas e vamos usar identidades para simplificar o integrando.

Passo 2

Usamos a definição de sec^2alpha = 1/cos^2alpha para reescrever o integrando:
sec^2alpha(cos^3alpha+1) = cos^3alpha+1cos^2alpha = cosalpha + sec^2alpha

Passo 3

A integral fica então integral(cosalpha + sec^2alpha),dalpha, que se separa em duas: integralcosalpha,dalpha + integralsec^2alpha,dalpha. Pelas fórmulas conhecidas, temos integralcosalpha,dalpha = sinalpha e integralsec^2alpha,dalpha = tanalpha.

Passo 4

Somando as primitivas e incluindo a constante de integração, chegamos a:
sinalpha + tanalpha + C

Passo 5

Para conferir, derivamos sinalpha + tanalpha. Usando d(sinalpha)/dalpha = cosalpha e d(tanalpha)/dalpha = sec^2alpha, obtemos cosalpha + sec^2alpha, que é exatamente o integrando simplificado, confirmando a resposta.

Resposta

sinalpha + tanalpha + C

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