Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria de uma função racional cujos denominadores são dois quadráticos em x. O conteúdo aqui é integração de função racional usando mudança de variável e decomposição em frações parciais.

Passo 2

Primeiro, note que as expressões quadráticas no denominador podem ser reescritas completando o quadrado: x²–4x+4=(x–2)² e x²–4x+5=(x–2)²+1. Fazendo a substituição t=x–2 temos dt=dx e a integral vira
integral dx(x-2)^2l((x-2)^2+1r) = integral dtt^2(t^2+1)

Passo 3

Para decompor 1/[t²(t²+1)], usamos frações parciais do tipo
1t^2(t^2+1) = At + Bt^2 + Ct+Dt^2+1
Multiplicando por t²(t²+1) e comparando coeficientes obtém-se os sistemas:
A+C=0, B+D=0, A=0, B=1.
Logo A=0, B=1, C=0, D=–1, e a decomposição fica
1t^2(t^2+1) = 1t^2 - 1t^2+1

Passo 4

Agora integramos termo a termo:
integral dtt^2 = -1t + C1,
integral dtt^2+1 = arctan(t) + C2
Portanto
integral l(1t^2 - 1t^2+1r)dt = -1t - arctan(t) + C

Passo 5

Por fim, voltamos à variável original x, lembrando que t=x–2. Assim a integral é
-1x-2 - arctan(x-2) + C

Resposta

-1x-2 - arctan(x-2) + C

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