Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral imprópria de uma função racional cujos denominadores são dois quadráticos em x. O conteúdo aqui é integração de função racional usando mudança de variável e decomposição em frações parciais.
Passo 2
Primeiro, note que as expressões quadráticas no denominador podem ser reescritas completando o quadrado: x²–4x+4=(x–2)² e x²–4x+5=(x–2)²+1. Fazendo a substituição t=x–2 temos dt=dx e a integral vira
Passo 3
Para decompor 1/[t²(t²+1)], usamos frações parciais do tipo
Multiplicando por t²(t²+1) e comparando coeficientes obtém-se os sistemas:
A+C=0, B+D=0, A=0, B=1.
Logo A=0, B=1, C=0, D=–1, e a decomposição fica
Passo 4
Agora integramos termo a termo:
Portanto
Passo 5
Por fim, voltamos à variável original x, lembrando que t=x–2. Assim a integral é