Mostre que o intervalo de convergência da série (-1,1) é .

Passo 1

O enunciado pede pra gente mostrar que a série de potências sumn=1^inftyl[1+tfrac1nr]^n/2x^n converge exatamente quando |x|<1, ou seja, seu intervalo de convergência é (-1,1). O conteúdo principal é teste da razão (criterio de Cauchy) para séries de potências; vamos precisar também do limite clássico limntoinftyl(1+tfrac1nr)^n=e.

Passo 2

Definimos o termo geral an=l[1+tfrac1nr]^n/2x^n. Pelo teste da razão, olhamos o quociente l|an+1/anr|:
Calculamos
|an+1an| =[1+1n+1]^tfracn+12/[1+1n]^tfrac n2;times;|x|
e usamos o fato de que
limntoinftyl(1+tfrac1nr)^n=e
Implica que
limntoinftyl(1+tfrac1n+1r)^tfracn+12=e^1/2 e limntoinftyl(1+tfrac1nr)^tfrac n2=e^1/2
Logo o quociente tende a
limntoinfty|an+1an|=|x|

Passo 3

Pelo teste da razão, a série converge se esse limite for menor que 1, ou seja |x|<1, e diverge se |x|>1. Assim o raio de convergência é 1.

Passo 4

Falta analisar os extremos. Para x=1 o termo geral é l[1+tfrac1nr]^n/2to e^1/2neq0, então a série não converge. Mesma coisa em x=-1: o termo geral não vai a zero e a série não converge.

Passo 5

Portanto o intervalo de convergência é exatamente (-1,1).

Resposta

(-1,1)

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