Mostre que o intervalo de convergência da série é .
Passo 1
O enunciado pede pra gente mostrar que a série de potências converge exatamente quando , ou seja, seu intervalo de convergência é . O conteúdo principal é teste da razão (criterio de Cauchy) para séries de potências; vamos precisar também do limite clássico .
Passo 2
Definimos o termo geral . Pelo teste da razão, olhamos o quociente :
Calculamos
limntoinftyl(1+tfrac1n+1r)^tfracn+12=e^1/2 e limntoinftyl(1+tfrac1nr)^tfrac n2=e^1/2
Logo o quociente tende a
limntoinfty|an+1an|=|x|
Passo 3
Pelo teste da razão, a série converge se esse limite for menor que 1, ou seja |x|<1, e diverge se |x|>1. Assim o raio de convergência é 1.
Passo 4
Falta analisar os extremos. Para x=1 o termo geral é l[1+tfrac1nr]^n/2to e^1/2neq0, então a série não converge. Mesma coisa em x=-1: o termo geral não vai a zero e a série não converge.
Passo 5
Portanto o intervalo de convergência é exatamente (-1,1).