integral sin ^2 xcos ^6 x d x

Passo 1

O enunciado pede calcular integral sin^2 xcos^6 x,dx. O conteúdo envolve integrais de funções trigonométricas, em particular usar identidades e substituição para transformar a integral num polinômio em tan x.

Passo 2

Primeiro, usamos a identidade sin^2 x = 1 - cos^2 x para reescrever o integrando:
sin^2 xcos^6 x = 1 - cos^2 xcos^6 x = 1cos^6 x - cos^2 xcos^6 x = sec^6 x - sec^4 x
Agora vamos integrar cada termo separadamente. Fazemos a substituição u = tan x, de modo que du = sec^2 x,dx. Assim:

Passo 3

  • Para integral sec^6 x,dx:
sec^6 x,dx = sec^4 xcdotsec^2 x,dx = (1+tan^2 x)^2,du = (1+u^2)^2,du
Integrando:
integral (1+u^2)^2,du = integral (1 + 2u^2 + u^4),du = u + 2u^33 + u^55 + C1
  • Para integral sec^4 x,dx:
sec^4 x,dx = sec^2 xcdotsec^2 x,dx = (1+tan^2 x),du = (1+u^2),du
Integrando:
integral (1+u^2),du = u + u^33 + C2
Substituindo de volta u = tan x e combinando as constantes, a integral original é a diferença entre essas duas integrais:
integral sec^6 x,dx - integral sec^4 x,dx = l(tan x + tfrac23tan^3 x + tfrac15tan^5 xr) - l(tan x + tfrac13tan^3 xr) + C
Cancelando tan x e agrupando os termos em tan^3 x e tan^5 x, chegamos em:
13tan^3 x + 15tan^5 x + C

Resposta

13tan^3 x + 15tan^5 x + C

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