8 Determine os pontos do hiperbolóide
em que o plano tangente é paralelo ao plano
.
Passo 1
O enunciado pede os pontos do hiperbolóide dado por
nos quais o plano tangente é paralelo ao plano
. Isso envolve superfícies implícitas e plano tangente via gradiente, e paralelismo de planos pelo vetor normal.
Passo 2
Definimos a função implícita
cuja superfície
é o nosso hiperbolóide. O vetor gradiente de
, dado por
é normal à superfície e, portanto, normal ao plano tangente em cada ponto.
Passo 3
O plano tangente em
tem equação
que se expande para
Como o plano
tem vetor normal
, queremos
para algum
.
Passo 4
Desse paralelismo seguem três equações:
Resolvendo cada uma:
Passo 5
Agora substituímos essas expressões em
:
que dá
Passo 6
Logo
. Substituindo em
obtemos os dois pontos:
Passo 7
Verificamos rapidamente que esses pontos satisfazem
e fazem com que o normal do plano tangente seja paralelo a
, como queríamos.
Resposta
Os pontos são
e
.