8 Determine os pontos do hiperbolóide x^2-2 y^2-4 z^2=16 em que o plano tangente é paralelo ao plano 4 x-2 y+4 z.

Passo 1

O enunciado pede os pontos do hiperbolóide dado por
x^2-2y^2-4z^2=16
nos quais o plano tangente é paralelo ao plano 4x - 2y + 4z = C. Isso envolve superfícies implícitas e plano tangente via gradiente, e paralelismo de planos pelo vetor normal.

Passo 2

Definimos a função implícita
F(x,y,z)=x^2-2y^2-4z^2-16,
cuja superfície F=0 é o nosso hiperbolóide. O vetor gradiente de F, dado por
nabla F=(2x,,-4y,,-8z),
é normal à superfície e, portanto, normal ao plano tangente em cada ponto.

Passo 3

O plano tangente em (x0,y0,z0) tem equação
nabla F(x0,y0,z0)cdotl((x,y,z)-(x0,y0,z0)r)=0
que se expande para
2x0x-4y0y-8z0z=2x0^2-4y0^2-8z0^2=32
Como o plano 4x-2y+4z=C tem vetor normal (4,-2,4), queremos
(2x0,-4y0,-8z0)=lambda, (4,-2,4)
para algum lambda.

Passo 4

Desse paralelismo seguem três equações:
2x0=4lambda, -4y0=-2lambda, -8z0=4lambda
Resolvendo cada uma:
x0=2lambda, y0=lambda2, z0=-lambda2

Passo 5

Agora substituímos essas expressões em F(x0,y0,z0)=0:
(2lambda)^2-2l(tfraclambda2r)^2-4l(-tfraclambda2r)^2=16
que dá
4lambda^2-2lambda^24-4lambda^24=16 Longrightarrow 52,lambda^2=16 Longrightarrow lambda^2=325

Passo 6

Logo lambda=pmtfrac4raiz105. Substituindo em x0,y0,z0 obtemos os dois pontos:
l(tfrac8raiz105,,tfrac2raiz105,,-tfrac2raiz105r) e l(-tfrac8raiz105,,-tfrac2raiz105,,tfrac2raiz105r)

Passo 7

Verificamos rapidamente que esses pontos satisfazem F=0 e fazem com que o normal do plano tangente seja paralelo a (4,-2,4), como queríamos.

Resposta

Os pontos são
l(tfrac8raiz105,,tfrac2raiz105,,-tfrac2raiz105r) e l(-tfrac8raiz105,,-tfrac2raiz105,,tfrac2raiz105r).

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