Calcule as integrais e derive o resultado para conferir a resposta.
integral d x4 x^2+4

Passo 1

O exercício pede para calcular integral dx4x^2+4 e depois derivar o resultado para conferir. Vamos usar integração de funções racionais e a fórmula de integral dxx^2+a^2.

Passo 2

Primeiro, fatoramos o denominador:
4x^2+4 = 4,(x^2+1)
Isso nos permite reescrever a integral como uma constante fora do integrando:
integral dx4(x^2+1) = 14 integral dxx^2+1

Passo 3

Sabendo que integral dxx^2+1 = arctan(x) + C, temos:
14 integral dxx^2+1 = 14 arctan(x) + C

Passo 4

Agora, vamos derivar 14arctan(x) + C para conferir:
ddxl(tfrac14arctan(x) + Cr) = 14 cdot 11+x^2 = 14(x^2+1)

Passo 5

Observamos que 14(x^2+1) = 14x^2+4, ou seja, bate exatamente com o integrando original.

Resposta

A integral é 14arctan(x)+C e a derivada desse resultado é 14(x^2+1), que confere com o integrando.

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