Se u=f(x, y) e v=g(x, y), com f e g diferenciáveis, demonstre as identidades abaixo:
nabla(c u)=c nabla u, onde c é uma constante.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para uma função escalar u(x,y) diferenciável e uma constante c, vale a identidade ∇(c u)=c ∇u. O conteúdo é o conceito de gradiente de uma função de duas variáveis e a propriedade de linearidade da derivada.

Passo 2

Por definição, para qualquer função escalar φ(x,y) diferenciável, o gradiente é dado por
abla phi=(partial phipartial x,partial phipartial y)
Aplicando isso a φ=c u, usamos a linearidade da derivada: para cada derivada parcial temos
partial (c u)partial x=cpartial upartial x,
partial (c u)partial y=cpartial upartial y

Passo 3

Agrupando as componentes parciais, o gradiente de c u fica
nabla (c u)=(cpartial upartial x,cpartial upartial y)=c(partial upartial x,partial upartial y)=c,nabla u

Resposta

Foi demonstrado que nabla(c u)=c,nabla u.

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