Se
e
, com
e
diferenciáveis, demonstre as identidades abaixo:
, onde
é uma constante.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para uma função escalar u(x,y) diferenciável e uma constante c, vale a identidade ∇(c u)=c ∇u. O conteúdo é o conceito de gradiente de uma função de duas variáveis e a propriedade de linearidade da derivada.
Passo 2
Por definição, para qualquer função escalar φ(x,y) diferenciável, o gradiente é dado por
Aplicando isso a φ=c u, usamos a linearidade da derivada: para cada derivada parcial temos
Passo 3
Agrupando as componentes parciais, o gradiente de c u fica
Resposta
Foi demonstrado que
.