Nos itens abaixo determine as equações do plano tangente e da retal normal ao gráfico da equação dada no ponto especificado.
z=4 x^2+9 y^2, P=(2,-1,25).

Passo 1

O enunciado pede para encontrar as equações do plano tangente e da reta normal ao gráfico da função z = 4x^2 + 9y^2 no ponto P = (2,-1,25). O conteúdo aqui envolve derivadas parciais para obter o gradiente e, em seguida, aplicar as fórmulas do plano tangente e da reta normal.

Passo 2

Primeiro, calculamos as derivadas parciais de f(x,y) = 4x^2 + 9y^2:
fx(x,y) = partialpartial x(4x^2 + 9y^2) = 8x,
fy(x,y) = partialpartial y(4x^2 + 9y^2) = 18y

Passo 3

Em seguida, avaliamos as derivadas parciais no ponto (x0,y0)=(2,-1):
fx(2,-1) = 8cdot2 = 16,
fy(2,-1) = 18cdot(-1) = -18

Passo 4

Usamos a fórmula do plano tangente a z=f(x,y) em (x0,y0,z0):
z - z0 = fx(x0,y0),(x - x0) + fy(x0,y0),(y - y0)
Substituindo (x0,y0,z0)=(2,-1,25) e as derivadas, fica:
z - 25 = 16(x - 2) - 18(y + 1)

Passo 5

Para a reta normal, o vetor normal ao gráfico da função definida por g(x,y,z)=f(x,y)-z=0 é nabla g = (fx,fy,-1). Em P isso dá o vetor (16,-18,-1). A equação paramétrica da reta é então:
x=2+16t,y=-1-18t,z=25 - t

Resposta

Plano tangente: z - 25 = 16(x - 2) - 18(y + 1). Reta normal paramétrica: x = 2 + 16t, y = -1 - 18t, z = 25 - t.

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