Nos itens abaixo determine as equações do plano tangente e da retal normal ao gráfico da equação dada no ponto especificado.
x y+2 y z-x z^2+10=0, P=(-5,5,1)

Passo 1

O enunciado pede para achar o plano tangente e a reta normal ao gráfico definido implicitamente pela equação x y + 2 y z - x z^2 + 10 = 0 no ponto P = (-5,5,1). Vamos usar cálculo de derivadas parciais, o gradiente e a fórmula do plano tangente a superfícies implícitas.

Passo 2

Para uma superfície dada por F(x,y,z)=0, o vetor normal no ponto P é o gradiente nabla F(P). Depois, o plano tangente satisfaz
nabla F(P) cdot l((x,y,z)-Pr)=0
e a reta normal tem equação paramétrica na direção de nabla F(P).

Passo 3

Definimos
F(x,y,z)=x y +2 y z - x z^2 + 10
Calculamos as derivadas parciais:
Fx = y - z^2,
Fy = x + 2z,
Fz = 2y - 2xz

Passo 4

Agora avaliamos essas derivadas no ponto P=(-5,5,1):
Fx(P) = 5 - 1 = 4,
Fy(P) = -5 + 2 = -3,
Fz(P) = 2cdot5 -2cdot(-5)cdot1 =10 +10 =20
Assim, nabla F(P) = (4,-3,20).

Passo 5

O plano tangente no ponto P é dado por
4(x+5) - 3(y-5) + 20(z-1) = 0
Reescrevendo de forma mais simples:
4x - 3y + 20z + 15 = 0

Passo 6

A reta normal passa por P e segue a direção de (4,-3,20). Sua forma paramétrica é:
x = -5 + 4t, y = 5 - 3t, z = 1 + 20t

Resposta

Plano tangente: 4x - 3y + 20z + 15 = 0. Reta normal: x = -5 + 4t,; y = 5 - 3t,; z = 1 + 20t

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