Nos itens abaixo determine as equações do plano tangente e da retal normal ao gráfico da equação dada no ponto especificado.
Passo 1
O enunciado pede para achar o plano tangente e a reta normal ao gráfico definido implicitamente pela equação no ponto . Vamos usar cálculo de derivadas parciais, o gradiente e a fórmula do plano tangente a superfícies implícitas.
Passo 2
Para uma superfície dada por , o vetor normal no ponto é o gradiente . Depois, o plano tangente satisfaz
e a reta normal tem equação paramétrica na direção de .
Passo 3
Definimos
Calculamos as derivadas parciais:
Passo 4
Agora avaliamos essas derivadas no ponto :
Assim, .
Passo 5
O plano tangente no ponto é dado por
Reescrevendo de forma mais simples:
Passo 6
A reta normal passa por e segue a direção de . Sua forma paramétrica é:
Resposta
Plano tangente: 4x - 3y + 20z + 15 = 0. Reta normal: x = -5 + 4t,; y = 5 - 3t,; z = 1 + 20t