Identifique e na série e use o teste da raiz para mostrar que o seu intervalo de convergência é .
Passo 1
A série dada é . Isso é um caso de série de potências, cujo formato genérico é . Vamos usar o teste da raiz para achar o intervalo de convergência.
Passo 2
Para colocar a série em forma padrão, observe que . Logo temos e, comparando com , deduzimos que .
Passo 3
O teste da raiz diz que, para , computamos
A série converge se L < 1 e diverge se L > 1.
Passo 4
Vamos calcular primeiro raiz[n]|cn|:
raiz[n]1n,2^n = 12,n^-1/n
Como limntoinftyn^1/n = 1, segue
limsupntoinfty raiz[n]|cn| = 12
Passo 5
Então
L = |x - (-1)| cdot 12 = |x+1|2
Para convergência, queremos L<1, isto é
|x+1|2 < 1 Longrightarrow |x+1| < 2
Isso dá -2 < x+1 < 2 ou -3 < x < 1.
Passo 6
Falta examinar os extremos:
Para x = -3, o termo geral vira
(-3+1)^nn,2^n = (-2)^nn,2^n = (-1)^nn,
que é a série harmônica alternada. Ela converge pelo teste de Leibniz.
Para x = 1, o termo vira
(1+1)^nn,2^n = 2^nn,2^n = 1n,
que é a série harmônica pura e diverge.
Passo 7
Concluímos que o raio de convergência é R=2 em torno de x0=-1, e o intervalo de convergência, incluindo apenas o extremo onde a série converge, é [-3,1).