Identifique cn e x0 na série sumn=1^infty (x+1)^nn 2^n e use o teste da raiz para mostrar que o seu intervalo de convergência é [-3,1).

Passo 1

A série dada é sumn=1^infty (x+1)^nn,2^n. Isso é um caso de série de potências, cujo formato genérico é sumn=1^infty cn(x - x0)^n. Vamos usar o teste da raiz para achar o intervalo de convergência.

Passo 2

Para colocar a série em forma padrão, observe que (x+1)^n = (x - (-1))^n. Logo temos x0 = -1 e, comparando (x+1)^nn,2^n com cn(x - x0)^n, deduzimos que cn = 1n,2^n.

Passo 3

O teste da raiz diz que, para an = cn(x - x0)^n, computamos
L = limsupntoinfty raiz[n]|an| = limsupntoinfty l|x - x0r| raiz[n]|cn|
A série converge se L < 1 e diverge se L > 1.

Passo 4

Vamos calcular primeiro raiz[n]|cn|:
raiz[n]1n,2^n = 12,n^-1/n
Como limntoinftyn^1/n = 1, segue
limsupntoinfty raiz[n]|cn| = 12

Passo 5

Então
L = |x - (-1)| cdot 12 = |x+1|2
Para convergência, queremos L<1, isto é
|x+1|2 < 1 Longrightarrow |x+1| < 2
Isso dá -2 < x+1 < 2 ou -3 < x < 1.

Passo 6

Falta examinar os extremos:
  • Para x = -3, o termo geral vira
(-3+1)^nn,2^n = (-2)^nn,2^n = (-1)^nn,
que é a série harmônica alternada. Ela converge pelo teste de Leibniz.
  • Para x = 1, o termo vira
(1+1)^nn,2^n = 2^nn,2^n = 1n,
que é a série harmônica pura e diverge.

Passo 7

Concluímos que o raio de convergência é R=2 em torno de x0=-1, e o intervalo de convergência, incluindo apenas o extremo onde a série converge, é [-3,1).

Resposta

c_{n} = \frac{1}{n,2^{n}}, x_{0} = -1, intervalo de convergência = [-3,1)

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