Calcule as integrais duplas
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem que calcular uma integral dupla, que é tipo uma soma contínua sobre uma região específica no plano. A integral que precisamos resolver é:
Onde a região
é definida por:
Aqui, estamos lidando com cálculo integral, mais especificamente com integrais duplas, e vamos precisar entender como integrar funções sobre regiões delimitadas.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região
. O intervalo para
vai de 0 a 2. Para cada valor de
,
varia de
a
. Isso significa que nossa área
é uma espécie de losango ou triângulo simétrico em relação ao eixo
.
Passo 3
Agora, vamos montar a integral dupla. A ideia é integrar a função
primeiro em relação a
e depois em relação a
. Assim, a integral fica:
Passo 4
Vamos resolver a integral interna, que é em relação a
:
Aqui,
é uma constante em relação a
, então podemos tirá-lo de fora da integral:
Agora, vamos integrar
:
A integral de
em relação a
é:
Aplicando os limites de integração:
Passo 5
Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
Vamos integrar
em relação a
:
A integral de
é:
Aplicando os limites de integração:
Resposta
O valor da integral dupla é: