Calcule as integrais duplas
integralD x^3 y^2 d A
D=(x, y) in R^2: 0 <= x <= 2,-x <= y <= x

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem que calcular uma integral dupla, que é tipo uma soma contínua sobre uma região específica no plano. A integral que precisamos resolver é:
integralD x^3 y^2 , dA
Onde a região D é definida por:
D = (x, y) in R^2 : 0 <= x <= 2, -x <= y <= x
Aqui, estamos lidando com cálculo integral, mais especificamente com integrais duplas, e vamos precisar entender como integrar funções sobre regiões delimitadas.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região D . O intervalo para x vai de 0 a 2. Para cada valor de x , y varia de -x a x . Isso significa que nossa área D é uma espécie de losango ou triângulo simétrico em relação ao eixo x .

Passo 3

Agora, vamos montar a integral dupla. A ideia é integrar a função x^3 y^2 primeiro em relação a y e depois em relação a x . Assim, a integral fica:
integral0^2 ( integral-x^x x^3 y^2 , dy ) dx

Passo 4

Vamos resolver a integral interna, que é em relação a y :
integral-x^x x^3 y^2 , dy
Aqui, x^3 é uma constante em relação a y , então podemos tirá-lo de fora da integral:
x^3 integral-x^x y^2 , dy
Agora, vamos integrar y^2 :
A integral de y^2 em relação a y é:
y^33
Aplicando os limites de integração:
x^3 [ y^33 ]-x^x = x^3 ( x^33 - (-x)^33 ) = x^3 ( x^33 + x^33 ) = x^3 cdot 2x^33 = 2x^63

Passo 5

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
integral0^2 2x^63 , dx = 23 integral0^2 x^6 , dx
Vamos integrar x^6 em relação a x :
A integral de x^6 é:
x^77
Aplicando os limites de integração:
23 [ x^77 ]0^2 = 23 ( 2^77 - 0 ) = 23 cdot 1287 = 25621

Resposta

O valor da integral dupla é:
25621

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