Calcule as integrais duplas é a região limitada pelos gráficos de e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla juntos! O enunciado pede para calcular a integral dupla , onde a região é limitada pelas curvas e . Vamos precisar usar conhecimentos de cálculo integral, especificamente integrais duplas e a definição de regiões limitadas por curvas. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, precisamos entender qual é a região onde vamos integrar. Para isso, vamos encontrar os pontos de interseção das duas curvas que limitam :
Resolvendo a equação quadrática:
Então, as soluções são e .
Passo 3
Agora que sabemos que as curvas se intersectam em e , podemos descrever a região . Para cada valor de entre e , vai variar de até . Portanto, podemos escrever a integral dupla como uma integral iterada:
Passo 4
Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a :
Como é constante em relação a , a integral fica:
Passo 5
Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa: