Calcule as integrais duplas
integralD(1-y) d A
D é a região limitada pelos gráficos de x=y^2 e x=2-y.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla juntos! O enunciado pede para calcular a integral dupla integralD(1 - y) , dA, onde a região D é limitada pelas curvas x = y^2 e x = 2 - y. Vamos precisar usar conhecimentos de cálculo integral, especificamente integrais duplas e a definição de regiões limitadas por curvas. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, precisamos entender qual é a região D onde vamos integrar. Para isso, vamos encontrar os pontos de interseção das duas curvas que limitam D:
y^2 = 2 - y y^2 + y - 2 = 0
Resolvendo a equação quadrática:
y = -1 pm raiz1 + 82 = -1 pm 32
Então, as soluções são y = 1 e y = -2.

Passo 3

Agora que sabemos que as curvas se intersectam em y = 1 e y = -2, podemos descrever a região D. Para cada valor de y entre -2 e 1, x vai variar de y^2 até 2 - y. Portanto, podemos escrever a integral dupla como uma integral iterada:
integraly=-2^1 integralx=y^2^2 - y (1 - y) , dx , dy

Passo 4

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a x:
integralx=y^2^2 - y (1 - y) , dx
Como (1 - y) é constante em relação a x, a integral fica:
(1 - y) cdot (x) gr|x=y^2^2 - y = (1 - y)(2 - y - y^2)

Passo 5

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
integraly=-2^1 (1 - y)(2 - y - y^2) , dy
Vamos multiplicar os termos:
(1 - y)(2 - y - y^2) = 2(1 - y) - y(1 - y) - y^2(1 - y) = 2 - 2y - y + y^2 - y^2 + y^3 = 2 - 3y + y^3
Então, a integral fica:
integraly=-2^1 (2 - 3y + y^3) , dy

Passo 6

Vamos calcular essa integral termo a termo:
integral 2 , dy = 2y integral -3y , dy = -32y^2 integral y^3 , dy = 14y^4
Então, a solução da integral é:
2y - 32y^2 + 14y^4 gr|y=-2^1

Passo 7

Agora, substituímos os limites de integração:
Para y = 1:
2(1) - 32(1)^2 + 14(1)^4 = 2 - 32 + 14 = 84 - 64 + 14 = 34
Para y = -2:
2(-2) - 32(-2)^2 + 14(-2)^4 = -4 - 32(4) + 14(16) = -4 - 6 + 4 = -6

Resposta

A integral dupla vale 34 - (-6) = 274. Portanto, a resposta final é:
274

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