Calcule as integrais duplas
integralD 1 d A
D é a região entre os gráficos de y=1+x e y=sin x e as retas x=pi e x=2 pi.

Passo 1

O enunciado pede a área da região D limitada pelas curvas y=1+x e y=sin x para x variando de pi até 2pi. O conteúdo é “integrais duplas” e, como a função integrando é 1, basta calcular a área via
integral duplaD1,dA

Passo 2

Em pi<= x<=2pi temos sin x<=0 e 1+x>=1+pi>0. Logo, a curva superior é y=1+x e a inferior é y=sin x.

Passo 3

A área de D é
integral duplaD1,dA ;=;integralpi^2pil[(1+x)-sin xr],dx

Passo 4

Calculemos a primitiva de cada termo:
integral(1+x),dx=x^22+x, integral(-sin x),dx=+cos x
Logo uma antiderivada de (1+x)-sin x é
F(x)=x^22+x+cos x

Passo 5

Avaliaremos F(x) entre pi e 2pi:
F(2pi)=(2pi)^22+2pi+cos(2pi) =2pi^2+2pi+1,
F(pi)=pi^22+pi+cos(pi) =pi^22+pi-1
Subtraindo,
F(2pi)-F(pi) =l(2pi^2+2pi+1r) -l(tfracpi^22+pi-1r) =3pi^22+pi+2

Resposta

integral duplaD1,dA =3pi^22+pi+2

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