Seja f(x, y) definida por f(x, y)=cl(x^2+y^2) sin (1x^2+y^2), & (x, y) neq(0,0) 0, & (x, y)=(0,0).
Calcule as derivadas parciais de f.

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y)= (x^2+y^2),sinl(tfrac1x^2+y^2r),&(x,y)neq(0,0), 0,&(x,y)=(0,0),
e pede as derivadas parciais partial f/partial x e partial f/partial y. Para (x,y)neq(0,0) vamos usar a regra do produto e a regra da cadeia; em (0,0) usamos a definição de derivada pela razão de incrementos.

Passo 2

Para (x,y)neq(0,0) escrevemos
f(x,y)=r^2sinl(tfrac1r^2r), r^2=x^2+y^2
Usando produto e cadeia:
partial fpartial x =partial(r^2)partial x,sinl(tfrac1r^2r) +r^2cosl(tfrac1r^2r),ddxl(tfrac1r^2r)
Como partial(r^2)/partial x=2x e
ddxl(tfrac1r^2r) =-1(r^2)^2,partial(r^2)partial x =-2x(x^2+y^2)^2,
vem
partial fpartial x =2x,sin!l(tfrac1r^2r) +(r^2)cos!l(tfrac1r^2r)l(-2xr^4r) =2xsin!l(tfrac1r^2r)-2xr^2cos!l(tfrac1r^2r)
Portanto, para (x,y)neq(0,0),
partial fpartial x =2xl[sinl(tfrac1x^2+y^2r)-1x^2+y^2cosl(tfrac1x^2+y^2r)r]

Passo 3

De modo análogo,
partial fpartial y =2y,sin!l(tfrac1x^2+y^2r) -2yx^2+y^2cos!l(tfrac1x^2+y^2r),
ou seja, para (x,y)neq(0,0),
partial fpartial y =2yl[sinl(tfrac1x^2+y^2r)-1x^2+y^2cosl(tfrac1x^2+y^2r)r]

Passo 4

Em (0,0) usamos a definição
partial fpartial x(0,0) =limhto0f(h,0)-f(0,0)h =limhto0h^2sin(1/h^2)h =limhto0hsin(1/h^2)=0
Similarmente partial f/partial y(0,0)=0.

Resposta

Para todos (x,y),
partial fpartial x(x,y)= 2xl[sinl(tfrac1x^2+y^2r)-tfrac1x^2+y^2cosl(tfrac1x^2+y^2r)r],&(x,y)neq(0,0), 0,&(x,y)=(0,0),
partial fpartial y(x,y)= 2yl[sinl(tfrac1x^2+y^2r)-tfrac1x^2+y^2cosl(tfrac1x^2+y^2r)r],&(x,y)neq(0,0), 0,&(x,y)=(0,0)

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