e pede as derivadas parciais partial f/partial x e partial f/partial y. Para (x,y)neq(0,0) vamos usar a regra do produto e a regra da cadeia; em (0,0) usamos a definição de derivada pela razão de incrementos.
Passo 2
Para (x,y)neq(0,0) escrevemos
f(x,y)=r^2sinl(tfrac1r^2r), r^2=x^2+y^2
Usando produto e cadeia:
partial fpartial x =partial(r^2)partial x,sinl(tfrac1r^2r) +r^2cosl(tfrac1r^2r),ddxl(tfrac1r^2r)
Como partial(r^2)/partial x=2x e
ddxl(tfrac1r^2r) =-1(r^2)^2,partial(r^2)partial x =-2x(x^2+y^2)^2,
vem
partial fpartial x =2x,sin!l(tfrac1r^2r) +(r^2)cos!l(tfrac1r^2r)l(-2xr^4r) =2xsin!l(tfrac1r^2r)-2xr^2cos!l(tfrac1r^2r)
Portanto, para (x,y)neq(0,0),
partial fpartial x =2xl[sinl(tfrac1x^2+y^2r)-1x^2+y^2cosl(tfrac1x^2+y^2r)r]
Passo 3
De modo análogo,
partial fpartial y =2y,sin!l(tfrac1x^2+y^2r) -2yx^2+y^2cos!l(tfrac1x^2+y^2r),
ou seja, para (x,y)neq(0,0),
partial fpartial y =2yl[sinl(tfrac1x^2+y^2r)-1x^2+y^2cosl(tfrac1x^2+y^2r)r]