Calcule as integrais iteradas abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral iterada
Informações dadas:
- A integral interna é em relação a
, com limites até . - A integral externa é em relação a
, com limites até . - A função integranda é
.
O objetivo é obter o valor numérico dessa integral dupla (avaliar a integral iterada na ordem dada).
Passo 2
Estratégia e propriedades úteis (passo-a-passo didático):
- Quando se integra em relação a
, a variável é tratada como constante. - É permitido “fatorar” constantes (ou expressões que não dependem da variável de integração) para fora da integral:
quando
não depende de
.
- A regra de potência para primitivas diz que, para
,
No caso particular,
.
Aplicando isso à integral interna:
Aplicando isso à integral interna:
porque
é constante em relação a
.
Passo 3
Calcular a integral interna detalhadamente:
Portanto
Agora substituímos esse resultado na integral externa:
Passo 4
Calcular a integral externa passo a passo:
- A primitiva de
é . (Isto vem do fato de que .) - Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo:
Sabendo que
e
, obtemos