Calcule as integrais iteradas abaixo:
\int_{0}^{\pi} \int_{0}^{1} y \operatorname{sen} x d y d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral iterada
\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{1} y\,\operatorname{sen} x\,dy\,dx.
Informações dadas:
  • A integral interna é em relação a y, com limites y=0 até y=1.
  • A integral externa é em relação a x, com limites x=0 até x=\pi.
  • A função integranda é y\operatorname{sen} x.
    O objetivo é obter o valor numérico dessa integral dupla (avaliar a integral iterada na ordem dada).

Passo 2

Estratégia e propriedades úteis (passo-a-passo didático):
  • Quando se integra em relação a y, a variável x é tratada como constante.
  • É permitido “fatorar” constantes (ou expressões que não dependem da variável de integração) para fora da integral: \int_{a}^{b} c\cdot f(y)\,dy = c\int_{a}^{b} f(y)\,dy,
quando c não depende de y.
  • A regra de potência para primitivas diz que, para n\neq -1, \int y^{n}\,dy = \frac{y^{n+1}}{n+1} + C.
No caso particular, \int y\,dy = \dfrac{y^{2}}{2}.
Aplicando isso à integral interna:
\int_{0}^{1} y\,\operatorname{sen} x\,dy = \operatorname{sen} x \int_{0}^{1} y\,dy
porque \operatorname{sen} x é constante em relação a y.

Passo 3

Calcular a integral interna detalhadamente:
\int_{0}^{1} y\,dy = \left[\frac{y^{2}}{2}\right]_{0}^{1} = \frac{1^{2}}{2}-\frac{0^{2}}{2}=\frac{1}{2}.
Portanto
\int_{0}^{1} y\,\operatorname{sen} x\,dy = \operatorname{sen} x\cdot\frac{1}{2} = \frac{1}{2}\operatorname{sen} x.
Agora substituímos esse resultado na integral externa:
\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{1} y\,\operatorname{sen} x\,dy\,dx = \int_{0}^{\pi} \frac{1}{2}\operatorname{sen} x\,dx.

Passo 4

Calcular a integral externa passo a passo:
  • A primitiva de \operatorname{sen} x é -\cos x. (Isto vem do fato de que \dfrac{d}{dx}(\cos x) = -\operatorname{sen} x.)
  • Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo:
\int_{0}^{\pi} \frac{1}{2}\operatorname{sen} x\,dx = \frac{1}{2}\left[\,-\cos x\,\right]_{0}^{\pi} = \frac{1}{2}\bigl(-\cos\pi + \cos 0\bigr).
Sabendo que \cos\pi = -1 e \cos 0 = 1, obtemos
\frac{1}{2}\bigl(-(-1) + 1\bigr) = \frac{1}{2}(1+1) = \frac{1}{2}\cdot 2 = 1.

Resposta

1

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