Calcule as integrais duplas abaixo:
(h) integral duplaR raiz1+y^3 d A, R=(x, y) in R^2: raizx <= y <= 1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral dupla , onde a região é definida por . Isso envolve o uso de cálculo integral múltiplo, especificamente integrais duplas. Vamos precisar entender como determinar os limites de integração e depois calcular a integral passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração . A desigualdade nos dá os limites para em função de . Para visualizar melhor, podemos reescrever como .
Isso significa que, para cada valor de , varia de até . E como está limitado por , o varia de a . Então, nossa região pode ser descrita pelos limites:
  • de a
  • de a

Passo 3

Agora, vamos montar a integral dupla com esses limites. A integral fica assim:
integral duplaR raiz1+y^3 , dA = integraly=0^1 integralx=0^y^2 raiz1 + y^3 , dx , dy
Note que não depende de , então a gente pode integrar essa parte primeiro.

Passo 4

Integrando em relação a integralx=0^y^2 raiz1 + y^3 , dx = raiz1 + y^3 cdot integral0^y^2 dx = raiz1 + y^3 cdot (y^2 - 0) = y^2 raiz1 + y^3 :
integral0^1 y^2 raiz1 + y^3 , dy
Então, a integral dupla reduz para uma integral simples em relação a :

Passo 5

Vamos resolver agora essa integral em relação a t = 1 + y^3 . Para facilitar, vamos usar uma substituição. Seja:
dt = 3y^2 , dy Rightarrow dy = dt3y^2
Então, derivando ambos os lados em relação a integral y^2 raiz1 + y^3 , dy = integral y^2 raizt cdot dt3y^2 = 13 integral raizt , dt :
Agora, substituímos na integral:

Passo 6

Integrando 13 integral t^1/2 , dt = 13 cdot 23 t^3/2 + C = 29 t^3/2 + C em relação a 29 (1 + y^3)^3/2 + C :
Agora, substituímos de volta:

Passo 7

Finalmente, avaliamos a integral definida de 29 (1 + y^3)^3/2 |0^1 = 29 [ (1 + 1^3)^3/2 - (1 + 0^3)^3/2 ] = 29 [ (2)^3/2 - 1 ] a 29 (2raiz2 - 1) :
Sabendo que , temos:

Resposta

A integral dupla vale .

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