Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral dupla , onde a região é definida por . Isso envolve o uso de cálculo integral múltiplo, especificamente integrais duplas. Vamos precisar entender como determinar os limites de integração e depois calcular a integral passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região de integração . A desigualdade nos dá os limites para em função de . Para visualizar melhor, podemos reescrever como .
Isso significa que, para cada valor de , varia de até . E como está limitado por , o varia de a . Então, nossa região pode ser descrita pelos limites:
de a
de a
Passo 3
Agora, vamos montar a integral dupla com esses limites. A integral fica assim:
Note que não depende de , então a gente pode integrar essa parte primeiro.
Passo 4
Integrando em relação a :
Então, a integral dupla reduz para uma integral simples em relação a :
Passo 5
Vamos resolver agora essa integral em relação a . Para facilitar, vamos usar uma substituição. Seja: