Calcule as seguintes integrais: integral0^1 integral1^2 1(x+y)^3 d x d y

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla juntos! O enunciado pede para calcular:
integral0^1 integral1^2 1(x+y)^3 , dx , dy
Aqui, estamos lidando com integrais duplas, que fazem parte do estudo de cálculo integral. Para resolver isso, vamos precisar integrar primeiro em relação a e depois em relação a .

Passo 2

Primeiro, vamos focar na integral interna, que é a integral em relação a integral1^2 1(x+y)^3 , dx :
integral (x + y)^n , dx = (x + y)^n+1n+1 + C
Para integrar essa expressão, podemos usar a regra de potência para integrais. Sabemos que:
integral 1(x + y)^3 , dx = integral (x + y)^-3 , dx = (x + y)^-2-2 + C = -12(x + y)^2 + C
No nosso caso, , então:

Passo 3

Agora, vamos aplicar os limites de integração de [ -12(x + y)^2 ]1^2 = -12(2 + y)^2 + 12(1 + y)^2 a 12(1 + y)^2 - 12(2 + y)^2 :
Simplificando:

Passo 4

Agora, temos que integrar essa expressão resultante em relação a integral0^1 ( 12(1 + y)^2 - 12(2 + y)^2 ) , dy de 0 a 1:
12 integral0^1 1(1 + y)^2 , dy - 12 integral0^1 1(2 + y)^2 , dy
Podemos separar essa integral em duas partes:

Passo 5

Vamos resolver cada uma das integrais separadamente. Primeiro, a integral de integral 1(1 + y)^2 , dy = -1 1 + y + C :
[ -1 1 + y ]0^1 = ( -1 2 ) - ( -1 1 ) = -12 + 1 = 12
Aplicando os limites de 0 a 1:

Passo 6

Agora, a integral de integral 1(2 + y)^2 , dy = -1 2 + y + C :
[ -1 2 + y ]0^1 = ( -1 3 ) - ( -1 2 ) = -13 + 12 = 16
Aplicando os limites de 0 a 1:

Passo 7

Agora, substituímos os resultados das integrais de volta na expressão original:
12 ( 12 ) - 12 ( 16 ) = 14 - 112 = 312 - 112 = 212 = 16

Resposta

O valor da integral dupla �� .

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