Determine os pontos críticos. da função: h(x, y) = e^(x^2 + y^2) - 2(x^2 + y^2).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinarmos os pontos críticos da função . Para isso, vamos usar cálculo diferencial, mais especificamente derivadas parciais. Precisamos encontrar onde as derivadas parciais de em relação a e são iguais a zero.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais da função em relação a e .
  • Derivada parcial em relação a :
  • Derivada parcial em relação a :

Passo 3

Agora, queremos encontrar os pontos críticos, ou seja, os valores de e que fazem com que ambas as derivadas parciais sejam iguais a zero. Então, igualamos as derivadas a zero:
Podemos fatorar na primeira equação e na segunda:
Isso nos dá duas possibilidades para cada equação:
  1. ou
  2. ou

Passo 4

Vamos analisar as possibilidades:
  1. Caso 1: e
    Substituindo na expressão :
    Mesmo assim, e satisfazem as equações das derivadas parciais igualando-as a zero, então é um ponto crítico.
  2. Caso 2:
    Resolvendo para :
    Isso representa todos os pontos que estão em uma circunferência de raio .

Passo 5

Portanto, os pontos críticos da função são:
  1. O ponto .
  2. Todos os pontos que estão na circunferência definida por .

Resposta

Os pontos críticos da função são o ponto e todos os pontos que pertencem à circunferência .

Exercícios relacionados