Determine os pontos críticos. da função:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinarmos os pontos críticos da função
. Para isso, vamos usar cálculo diferencial, mais especificamente derivadas parciais. Precisamos encontrar onde as derivadas parciais de
em relação a
e
são iguais a zero.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais da função
em relação a
e
.
-
Derivada parcial em relação a
: -
Derivada parcial em relação a
:
Passo 3
Agora, queremos encontrar os pontos críticos, ou seja, os valores de
e
que fazem com que ambas as derivadas parciais sejam iguais a zero. Então, igualamos as derivadas a zero:
Podemos fatorar
na primeira equação e
na segunda:
Isso nos dá duas possibilidades para cada equação:
-
ou -
ou
Passo 4
Vamos analisar as possibilidades:
-
Caso 1:
e Substituindo na expressão: Mesmo assim,e satisfazem as equações das derivadas parciais igualando-as a zero, então é um ponto crítico. -
Caso 2:Resolvendo para
: Isso representa todos os pontosque estão em uma circunferência de raio .
Passo 5
Portanto, os pontos críticos da função
são:
- O ponto
. - Todos os pontos que estão na circunferência definida por
.
Resposta
Os pontos críticos da função
são o ponto
e todos os pontos que pertencem à circunferência
.