Calcule as seguintes integrais: , onde é o retângulo definido por e .
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral dupla de sobre o retângulo , onde é definido por e . Usaremos conceitos de cálculo integral, especificamente integrais duplas, para resolver isso.
Passo 2
Como a integral é dupla e a função que estamos integrando pode ser separada em funções de e , podemos calcular as integrais de forma separada. Isso significa que vamos integrar em relação a e em relação a separadamente.
Passo 3
Vamos começar integrando com respeito a no intervalo de a :
A integral de é , então:
Passo 4
Agora, vamos integrar cos(y) com respeito a y no intervalo de 0 a pi2:
integral0^pi2 cos(y) , dy
A integral de cos(y) é sin(y), então:
sin(y) |0^pi2 = sin(pi2) - sin(0) = 1 - 0 = 1
Passo 5
Finalmente, multiplicamos os resultados das integrais individuais para obter o valor da integral dupla: