Calcule as seguintes integrais: integral duplaR sin (x) cos (y) d x d y, onde R é o retângulo definido por 0 <= x <= pi e 0 <= y <= pi2.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral dupla de sin(x) cos(y) sobre o retângulo R, onde R é definido por 0 <= x <= pi e 0 <= y <= pi2. Usaremos conceitos de cálculo integral, especificamente integrais duplas, para resolver isso.

Passo 2

Como a integral é dupla e a função que estamos integrando pode ser separada em funções de x e y, podemos calcular as integrais de forma separada. Isso significa que vamos integrar sin(x) em relação a x e cos(y) em relação a y separadamente.

Passo 3

Vamos começar integrando sin(x) com respeito a x no intervalo de 0 a pi:
integral0^pi sin(x) , dx
A integral de sin(x) é - cos(x), então:
- cos(x) |0^pi = -cos(pi) + cos(0) = -(-1) + 1 = 2

Passo 4

Agora, vamos integrar cos(y) com respeito a y no intervalo de 0 a pi2:
integral0^pi2 cos(y) , dy
A integral de cos(y) é sin(y), então:
sin(y) |0^pi2 = sin(pi2) - sin(0) = 1 - 0 = 1

Passo 5

Finalmente, multiplicamos os resultados das integrais individuais para obter o valor da integral dupla:
2 times 1 = 2

Resposta

O valor da integral dupla é 2.

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