Considere a integral tripla em coordenadas cilíndricas
(a) Encontre
coordenadas cartesianas na ordem
.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão tá pedindo. A gente tem uma integral tripla em coordenadas cilíndricas:
O conteúdo envolvido aqui é o cálculo de integrais múltiplas, mais especificamente a conversão de integrais de coordenadas cilíndricas para coordenadas cartesianas. Vamos precisar entender como transformar as variáveis e os limites de integração de um sistema de coordenadas para o outro.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como são as relações entre coordenadas cilíndricas
e cartesianas
. As conversões são:
E o volume em coordenadas cilíndricas é dado por
. Como a nossa integral já está em coordenadas cilíndricas, precisamos reescrever tudo em termos de
,
e
.
Passo 3
Agora, vamos analisar os limites de integração. Na integral original:
-
varia de a , o que cobre todo o círculo em torno do eixo . -
varia de a , o que define o raio máximo no plano . -
varia de a , definindo as superfícies inferior e superior do volume.
Em coordenadas cartesianas:
-
. - O limite para
de a se traduz para , ou seja, . - Para
, os limites se tornam entre e .
Passo 4
Agora, vamos montar a integral em coordenadas cartesianas. A função integranda original é
. Em termos de
e
, isso vira:
O volume diferencial em coordenadas cartesianas é
. Então, substituindo tudo, a integral fica:
Passo 5
Vamos definir os limites de integração em cartesianas:
-
Para
e : A região é um círculo de raio , então: -
Para
: Para cada ponto no plano, varia de a .
Então, a integral em coordenadas cartesianas fica:
Resposta
A integral
em coordenadas cartesianas na ordem
é: