Considere a integral tripla em coordenadas cilíndricas
I=integral0^2 pi integral0^raiz2 integralr^raiz1-r^2 3 r d z d r d theta
(a) Encontre I cm coordenadas cartesianas na ordem d: d x d y.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão tá pedindo. A gente tem uma integral tripla em coordenadas cilíndricas:
I = integral0^2 pi integral0^raiz2 integralr^raiz1 - r^2 3 r , dz , dr , dtheta
O conteúdo envolvido aqui é o cálculo de integrais múltiplas, mais especificamente a conversão de integrais de coordenadas cilíndricas para coordenadas cartesianas. Vamos precisar entender como transformar as variáveis e os limites de integração de um sistema de coordenadas para o outro.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como são as relações entre coordenadas cilíndricas (r, theta, z) e cartesianas (x, y, z). As conversões são:
x = r costheta y = r sintheta z = z
E o volume em coordenadas cilíndricas é dado por dV = r , dz , dr , dtheta. Como a nossa integral já está em coordenadas cilíndricas, precisamos reescrever tudo em termos de x, y e z.

Passo 3

Agora, vamos analisar os limites de integração. Na integral original:
  • theta varia de 0 a 2pi, o que cobre todo o círculo em torno do eixo z.
  • r varia de 0 a raiz2, o que define o raio máximo no plano xy.
  • z varia de r a raiz1 - r^2, definindo as superfícies inferior e superior do volume.
Em coordenadas cartesianas:
  • r = raizx^2 + y^2.
  • O limite para r de 0 a raiz2 se traduz para raizx^2 + y^2 <= raiz2, ou seja, x^2 + y^2 <= 2.
  • Para z, os limites se tornam z entre r = raizx^2 + y^2 e z = raiz1 - r^2 = raiz1 - x^2 - y^2.

Passo 4

Agora, vamos montar a integral em coordenadas cartesianas. A função integranda original é 3r. Em termos de x e y, isso vira:
3r = 3raizx^2 + y^2
O volume diferencial em coordenadas cartesianas é dV = dz , dx , dy. Então, substituindo tudo, a integral fica:
I = integral integral integral 3raizx^2 + y^2 , dz , dx , dy

Passo 5

Vamos definir os limites de integração em cartesianas:
  1. Para x e y: A região é um círculo de raio raiz2, então:
    x^2 + y^2 <= 2
  2. Para z: Para cada ponto (x, y) no plano, z varia de raizx^2 + y^2 a raiz1 - x^2 - y^2.
Então, a integral em coordenadas cartesianas fica:
I = integralx^2 + y^2 <= 2 integralraizx^2 + y^2^raiz1 - x^2 - y^2 3raizx^2 + y^2 , dz , dx , dy

Resposta

A integral I = integralx^2 + y^2 <= 2 integralraizx^2 + y^2^raiz1 - x^2 - y^2 3raizx^2 + y^2 , dz , dx , dy em coordenadas cartesianas na ordem é:

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