Determine o domínio da função f, sendo: f(x)=sumn=2^infty(-1)^n+1 x^nn(ln n)^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que determinar o domínio da função . Isso envolve entender onde essa série infinita converge. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de séries de potências e critérios de convergência, como o teste da razão.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que estamos lidando com uma série de potências, que tem a forma geral . O domínio da função será o conjunto de valores de para os quais essa série converge. Para descobrir isso, é comum determinar o raio de convergência.

Passo 3

Para achar o raio de convergência, podemos usar o testes da razão. Esse teste nos ajuda a encontrar um limite que indica onde a série converge absolutamente. Aplicando o teste da razão, consideramos:
limn to infty | an+1 x^n+1an x^n |
Substituindo limn to infty | 1(n+1)(ln(n+1))^2 x^n+11n (ln n)^2 x^n | = limn to infty | n (ln n)^2(n+1)(ln(n+1))^2 x | , temos:

Passo 4

Simplificando o limite:
limn to infty nn+1 cdot ( ln nln(n+1) )^2 cdot |x| = 1 cdot 1^2 cdot |x| = |x|
Para que a série convirja pelo teste da razão, esse limite deve ser menor que 1:
|x| < 1

Passo 5

Então, o raio de convergência é 1. Agora, precisamos verificar o comportamento da série nos extremos, quando .

Passo 6

Quando f(1) = sumn=2^infty(-1)^n+1 1n(ln n)^2 :
f(-1) = sumn=2^infty (-1)^n+1 (-1)^nn(ln n)^2 = sumn=2^infty (-1)^2n+1n(ln n)^2 = -sumn=2^infty 1n(ln n)^2
Essa é uma série alternada, e pelo teste de Leibniz, ela converge porque os termos decrescem em módulo e tendem a zero.
Quando :
Essa série é similar a , que é uma série p com , portanto converge.

Resposta

O domínio da função Df = x in R | |x| <= 1 é todos os números reais tais que . Ou seja:

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