Calcule as integrais duplas abaixo usando integrais iteradas. Faça isto usando as duas ordens de integração possíveis.
integral duplaQ(x^2 y^2+x y^3) d x d y ; Q=[-1,0] times[1,2].

Passo 1

O enunciado pede o cálculo da integral dupla da função
;f(x,y)=x^2y^2+xy^3
sobre o retângulo
;Q=[-1,0]times[1,2],
usando as duas ordens de integração possíveis.
O conteúdo principal é o Teorema de Fubini (integral dupla como iteradas) e a regra de potência para encontrar antiderivadas de polinômios.

Passo 2

Primeira ordem: integrar primeiro em x e depois em y.
integral duplaQf(x,y),dx,dy =integraly=1^2l(integralx=-1^0(x^2y^2+x y^3),dxr),dy
No interior, y é constante, então
integral-1^0(x^2y^2+x y^3),dx =y^2integral-1^0x^2,dx +y^3integral-1^0x,dx =y^2l[tfracx^33r]-1^0 +y^3l[tfracx^22r]-1^0 =tfrac13y^2-tfrac12y^3

Passo 3

Agora integramos em y:
integral1^2l(tfrac13y^2-tfrac12y^3r),dy =tfrac13l[tfracy^33r]1^2 -tfrac12l[tfracy^44r]1^2 =l(tfrac19y^3-tfrac18y^4r)!|1^2 =-tfrac7972

Passo 4

Segunda ordem: integrar primeiro em y e depois em x.
integral duplaQf(x,y),dy,dx =integralx=-1^0l(integraly=1^2(x^2y^2+x y^3),dyr),dx
No interior, x é constante, logo
integral1^2(x^2y^2+x y^3),dy =x^2integral1^2y^2,dy +xintegral1^2y^3,dy =x^2l[tfracy^33r]1^2 +xl[tfracy^44r]1^2 =tfrac73x^2+tfrac154x
Agora em x:
integral-1^0l(tfrac73x^2+tfrac154xr),dx =l[tfrac79x^3+tfrac158x^2r]-1^0 =-tfrac7972

Passo 5

Em ambas as ordens de integração obtivemos o mesmo valor, conforme garante o Teorema de Fubini.

Resposta

-7972

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