Resolva as equações diferenciais de Bernoulli, transformando-as em uma equação linear.
d yd x+y=x y^2

Passo 1

O enunciado dá a equação de Bernoulli
dydx + y = x,y^2
e pede para transformá-la numa equação linear. O conteúdo aqui é a equação de Bernoulli, que tem forma
dydx + P(x),y = Q(x),y^n
Identificamos P(x)=1, Q(x)=x e n=2.

Passo 2

Na equação de Bernoulli, fazemos a substituição
v = y^1-n = y^-1
Calculamos também
dvdx = -y^-2,dydx

Passo 3

Multiplicamos a equação original por y^-2:
y^-2dydx + y^-1 = x
Como y^-2dydx = -dvdx e y^-1=v, isso vira
-dvdx + v = x Longrightarrow dvdx - v = -x,
que é uma equação linear em v.

Passo 4

Para resolver
dvdx - v = -x
usamos fator integrante. O fator integrante é
mu(x) = e^integral -1,dx = e^-x
Multiplicando por mu(x):
e^-xdvdx - e^-xv = -x,e^-x,
que equivale a
ddxl(v,e^-xr) = -x,e^-x
Agora integramos ambos os lados:
integral ddxl(v,e^-xr),dx = integral -x,e^-x,dx
O lado esquerdo dá v,e^-x. Para o direito, por partes,
integral -x,e^-x,dx = e^-x(x+1) + C
Logo
v,e^-x = e^-x(x+1) + C Longrightarrow v = x + 1 + C,e^x

Passo 5

Voltando à variável original, v = y^-1, obtemos
y^-1 = x + 1 + C,e^x Longrightarrow y(x) = 1,x + 1 + C,e^x,

Resposta

y(x) = 1,x + 1 + C,e^x,

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