Calcule as integrais duplas abaixo usando integrais iteradas. Faça isto usando as duas ordens de integração possíveis. ; onde é a região delimitada pelas curvas e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver uma integral dupla: . A região é delimitada pelas curvas e , com variando de 0 a 1. Isso está no tópico de cálculo de integrais duplas usando integrais iteradas. Para resolver, vamos precisar entender como definir os limites de integração nas duas ordens possíveis: primeiro integrar em relação a e depois em , e vice-versa.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região . As curvas e se encontram quando , ou seja, e . Para , está abaixo de . Isso significa que, para cada entre 0 e 1, varia de até .
Passo 3
Vamos configurar a integral dupla na ordem . Isso significa que, para cada , vai de até . Então, a integral fica assim:
Agora, vamos resolver a parte interna da integral em relação a :
Agora, vamos resolver a integral dupla na ordem dx , dy. Primeiro, precisamos definir os limites de x para cada y. A curva y = x^3 pode ser rearranjada para x = raiz[3]y e y = x^2 para x = raizy. Portanto, para cada y entre 0 e 1, x varia de raiz[3]y até raizy.
Assim, a integral fica:
integraly=0^1 integralx=raiz[3]y^raizy (x^2 - y^2) , dx , dy