Calcule as integrais duplas abaixo usando integrais iteradas. Faça isto usando as duas ordens de integração possíveis.
integral duplaQ(x^2-y^2) d x d y; onde Q é a região delimitada pelas curvas y=x^3 e y=x^2, x in[0.1].

Passo 1

Beleza, vamos resolver uma integral dupla: integral duplaQ(x^2-y^2) , dx , dy. A região Q é delimitada pelas curvas y = x^3 e y = x^2, com x variando de 0 a 1. Isso está no tópico de cálculo de integrais duplas usando integrais iteradas. Para resolver, vamos precisar entender como definir os limites de integração nas duas ordens possíveis: primeiro integrar em relação a x e depois em y, e vice-versa.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região Q. As curvas y = x^3 e y = x^2 se encontram quando x^3 = x^2, ou seja, x = 0 e x = 1. Para 0 <= x <= 1, y = x^3 está abaixo de y = x^2. Isso significa que, para cada x entre 0 e 1, y varia de x^3 até x^2.

Passo 3

Vamos configurar a integral dupla na ordem dy , dx. Isso significa que, para cada x, y vai de x^3 até x^2. Então, a integral fica assim:
integralx=0^1 integraly=x^3^x^2 (x^2 - y^2) , dy , dx
Agora, vamos resolver a parte interna da integral em relação a y:
integralx^3^x^2 (x^2 - y^2) , dy = x^2 y - y^33 |x^3^x^2
Substituindo os limites:
= x^2(x^2) - (x^2)^33 - ( x^2(x^3) - (x^3)^33 )
Simplificando:
= x^4 - x^63 - x^5 + x^93

Passo 4

Agora, vamos integrar em relação a x:
integral0^1 ( x^4 - x^63 - x^5 + x^93 ) , dx
Integrando termo a termo:
= x^55 - x^721 - x^66 + x^1030 |0^1
Substituindo os limites:
= ( 15 - 121 - 16 + 130 ) - 0
Calculando os valores:
= 15 - 121 - 16 + 130 = 42 - 10 - 35 + 7210 = 4210 = 2105

Passo 5

Agora, vamos resolver a integral dupla na ordem dx , dy. Primeiro, precisamos definir os limites de x para cada y. A curva y = x^3 pode ser rearranjada para x = raiz[3]y e y = x^2 para x = raizy. Portanto, para cada y entre 0 e 1, x varia de raiz[3]y até raizy.
Assim, a integral fica:
integraly=0^1 integralx=raiz[3]y^raizy (x^2 - y^2) , dx , dy
Vamos resolver a parte interna em relação a x:
integralraiz[3]y^raizy (x^2 - y^2) , dx = x^33 - y^2x |raiz[3]y^raizy
Substituindo os limites:
= ( (raizy)^33 - y^2 raizy ) - ( (raiz[3]y)^33 - y^2 raiz[3]y )
Simplificando:
= ( y^3/23 - y^5/2 ) - ( y3 - y^7/3 )
= y^3/23 - y^5/2 - y3 + y^7/3

Passo 6

Agora, integramos em relação a y:
integral0^1 ( y^3/23 - y^5/2 - y3 + y^7/3 ) , dy
Integrando termo a termo:
= y^5/215/2 - y^7/27/2 - y^26 + y^10/310/3 |0^1
Simplificando:
= 215 y^5/2 - 27 y^7/2 - 16 y^2 + 310 y^10/3 |0^1
Substituindo os limites:
= ( 215 - 27 - 16 + 310 ) - 0
Calculando os valores:
= 215 - 27 - 16 + 310 = 28 - 60 - 35 + 63210 = -4210 = 2105

Resposta

O valor da integral dupla é 2105.

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