Calcule as integrais duplas abaixo usando integrais iteradas. Faça isto usando as duas ordens de integração possíveis.
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. A gente precisa calcular uma integral dupla da função
sobre a região
, que é um retângulo definido por
variando de
a
e
variando de
a
. Para resolver isso, vamos usar integrais iteradas, ou seja, calcular a integral primeiro em relação a uma variável e depois na outra. Vamos fazer isso nas duas ordens possíveis para termos certeza que está tudo certo.
Passo 2
Vamos começar integrando primeiro em relação a
e depois em relação a
. A integral fica assim:
Passo 3
Primeiro, vamos resolver a integral interna:
.
A antiderivada de
em relação a
é
. Então:
Passo 4
Agora, vamos calcular os limites dessa antiderivada de
a
:
Sabemos que
, então substituindo:
Passo 5
Agora, substituímos o resultado na integral externa:
Passo 6
Vamos resolver essa integral em relação a
:
Então, a antiderivada completa é:
Passo 7
Aplicando os limites de
a
:
Para
:
Para
:
Subtraindo:
Passo 8
Agora, vamos resolver a integral na outra ordem, ou seja, integrar primeiro em relação a
e depois em relação a
. A integral fica:
Passo 9
Primeiro, resolvemos a integral interna:
.
A antiderivada de
em relação a
é
. Então:
Passo 10
Calculando os limites dessa antiderivada de
a
:
Sabemos que
, então substituindo:
Passo 11
Agora, substituímos o resultado na integral externa:
Passo 12
Resolvendo essa integral:
Aplicando os limites de
a
:
Para
:
Para
:
Subtraindo:
Resposta
Ambas as ordens de integração resultam em
. Portanto, a integral dupla de
sobre a região
é igual a 2.