Calcule as integrais duplas abaixo usando integrais iteradas. Faça isto usando as duas ordens de integração possíveis.
integral duplaQ sen(x+y) d x d y ; Q=[0, pi2] times[0, pi].

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. A gente precisa calcular uma integral dupla da função sin(x + y) sobre a região Q, que é um retângulo definido por x variando de 0 a pi2 e y variando de 0 a pi. Para resolver isso, vamos usar integrais iteradas, ou seja, calcular a integral primeiro em relação a uma variável e depois na outra. Vamos fazer isso nas duas ordens possíveis para termos certeza que está tudo certo.

Passo 2

Vamos começar integrando primeiro em relação a x e depois em relação a y. A integral fica assim:
integral0^pi ( integral0^pi2 sin(x + y) , dx ) dy

Passo 3

Primeiro, vamos resolver a integral interna: integral0^pi2 sin(x + y) , dx.
A antiderivada de sin(x + y) em relação a x é -cos(x + y). Então:
integral sin(x + y) , dx = -cos(x + y) + C

Passo 4

Agora, vamos calcular os limites dessa antiderivada de 0 a pi2:
-cos(pi2 + y) + cos(y)
Sabemos que cos(pi2 + y) = -sin(y), então substituindo:
-(-sin(y)) + cos(y) = sin(y) + cos(y)

Passo 5

Agora, substituímos o resultado na integral externa:
integral0^pi ( sin(y) + cos(y) ) dy

Passo 6

Vamos resolver essa integral em relação a y:
integral sin(y) , dy = -cos(y) + C
integral cos(y) , dy = sin(y) + C
Então, a antiderivada completa é:
-cos(y) + sin(y)

Passo 7

Aplicando os limites de 0 a pi:
Para y = pi:
-cos(pi) + sin(pi) = -(-1) + 0 = 1
Para y = 0:
-cos(0) + sin(0) = -1 + 0 = -1
Subtraindo:
1 - (-1) = 2

Passo 8

Agora, vamos resolver a integral na outra ordem, ou seja, integrar primeiro em relação a y e depois em relação a x. A integral fica:
integral0^pi2 ( integral0^pi sin(x + y) , dy ) dx

Passo 9

Primeiro, resolvemos a integral interna: integral0^pi sin(x + y) , dy.
A antiderivada de sin(x + y) em relação a y é -cos(x + y). Então:
integral sin(x + y) , dy = -cos(x + y) + C

Passo 10

Calculando os limites dessa antiderivada de 0 a pi:
-cos(x + pi) + cos(x)
Sabemos que cos(x + pi) = -cos(x), então substituindo:
-(-cos(x)) + cos(x) = cos(x) + cos(x) = 2cos(x)

Passo 11

Agora, substituímos o resultado na integral externa:
integral0^pi2 2cos(x) , dx

Passo 12

Resolvendo essa integral:
2 integral cos(x) , dx = 2sin(x) + C
Aplicando os limites de 0 a pi2:
Para x = pi2:
2sin(pi2) = 2 times 1 = 2
Para x = 0:
2sin(0) = 2 times 0 = 0
Subtraindo:
2 - 0 = 2

Resposta

Ambas as ordens de integração resultam em 2. Portanto, a integral dupla de sin(x + y) sobre a região Q é igual a 2.

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