Use the Comparison Test to determine whether each series in exercises 1 - 13 converges or diverges.
sumn=1^infty n!(n+2)!

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem que usar o Teste da Comparação para descobrir se a série sumn=1^infty n!(n+2)! converge ou diverge. Esse teste é útil para comparar nossa série com outra que já sabemos se ela converge ou não.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série. Temos n!(n+2)!. Sabemos que (n+2)! = (n+2)(n+1)n!, então:
n!(n+2)! = n!(n+2)(n+1)n! = 1(n+1)(n+2)

Passo 3

Agora, a série fica assim:
sumn=1^infty 1(n+1)(n+2)
Podemos comparar esse termo com 1n^2, porque (n+1)(n+2) > n^2, então:
1(n+1)(n+2) < 1n^2

Passo 4

Sabemos que a série sumn=1^infty 1n^2 é uma série p com p = 2, e ela converge porque p > 1.

Passo 5

Como cada termo da nossa série original é menor que os termos da série sum 1n^2, que converge, pelo Teste da Comparação, nossa série também converge.

Resposta

A série sumn=1^infty n!(n+2)! converge.

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