Calcule a integral em coordenadas polares:
integral duplaR(x^2+y^2) d A, onde R é a região do primeiro quadrante entre os círculos com centro na origem e raios 1 e 3 .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral dupla integral duplaR(x^2+y^2) d A, onde a região R é o primeiro quadrante entre dois círculos com raios 1 e 3, ambos centrados na origem. A matéria aqui é cálculo integral, especificamente integrando em coordenadas polares. Pra resolver isso, vamos precisar converter a integral para coordenadas polares e determinar os limites de integração apropriados.

Passo 2

Primeiro, vamos mudar de coordenadas cartesianas para polares. Em coordenadas polares, as relações são x = rcostheta e y = rsintheta. Além disso, a expressão x^2 + y^2 fica mais simples: x^2 + y^2 = r^2. E o elemento de área dA em polares é dado por r , dr , dtheta. Então, nossa integral fica:
integral duplaR (x^2 + y^2) , dA = integral duplaR r^2 cdot r , dr , dtheta = integral duplaR r^3 , dr , dtheta

Passo 3

Agora, precisamos determinar os limites de integração. A região R está no primeiro quadrante, então o ângulo theta varia de 0 a pi2. Além disso, R está entre os círculos de raio 1 e 3, então o raio r varia de 1 a 3. Portanto, nossos limites são:
0 <= theta <= pi2 e 1 <= r <= 3

Passo 4

Com os limites determinados, vamos calcular a integral. Primeiro, integramos em relação a r:
integral1^3 r^3 , dr = [ r^44 ]1^3 = 3^44 - 1^44 = 814 - 14 = 804 = 20

Passo 5

Agora, integramos o resultado em relação a theta:
integral0^pi2 20 , dtheta = 20 cdot [ theta ]0^pi2 = 20 cdot ( pi2 - 0 ) = 10pi

Resposta

A integral vale 10pi.

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