Calcule a integral em coordenadas polares:
, onde
é a região do primeiro quadrante entre os círculos com centro na origem e raios 1 e 3 .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral dupla
, onde a região
é o primeiro quadrante entre dois círculos com raios 1 e 3, ambos centrados na origem. A matéria aqui é cálculo integral, especificamente integrando em coordenadas polares. Pra resolver isso, vamos precisar converter a integral para coordenadas polares e determinar os limites de integração apropriados.
Passo 2
Primeiro, vamos mudar de coordenadas cartesianas para polares. Em coordenadas polares, as relações são
e
. Além disso, a expressão
fica mais simples:
. E o elemento de área
em polares é dado por
. Então, nossa integral fica:
Passo 3
Agora, precisamos determinar os limites de integração. A região
está no primeiro quadrante, então o ângulo
varia de 0 a
. Além disso,
está entre os círculos de raio 1 e 3, então o raio
varia de 1 a 3. Portanto, nossos limites são:
Passo 4
Com os limites determinados, vamos calcular a integral. Primeiro, integramos em relação a
:
Passo 5
Agora, integramos o resultado em relação a
:
Resposta
A integral vale
.