Escreva a integral abaixo em coordenadas polares. (Não é necessário resolver a integral).
integralR integral x y d A ; R=(x, y) ;(x-a)^2+y^2 <= a^2, a>0

Passo 1

Beleza, vamos resolver um exercício de cálculo integral onde a gente precisa reescrever uma integral dupla em coordenadas polares. O enunciado da questão é:
integralR x y , dA ; R=(x, y) ;(x-a)^2+y^2 <= a^2, , a>0
Aqui, R é uma região no plano XY definida por um círculo com centro em (a, 0) e raio a. Para resolver isso em coordenadas polares, vamos usar conceitos de geometria e transformação de coordenadas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região R. A equação (x-a)^2+y^2 <= a^2 descreve um círculo com centro em (a, 0) e raio a. Em coordenadas polares, onde x = r cos theta e y = r sin theta, precisamos reescrever essa equação para encontrar os limites de r e theta.

Passo 3

Substituindo x e y por suas expressões em coordenadas polares na equação do círculo:
(r cos theta - a)^2 + (r sin theta)^2 <= a^2
Vamos expandir e simplificar essa expressão:
(r cos theta - a)^2 + (r sin theta)^2 = r^2 cos^2 theta - 2 a r cos theta + a^2 + r^2 sin^2 theta
Somando os termos semelhantes:
r^2 (cos^2 theta + sin^2 theta) - 2 a r cos theta + a^2 <= a^2
Sabemos que cos^2 theta + sin^2 theta = 1, então a equação simplifica para:
r^2 - 2 a r cos theta <= 0

Passo 4

Resolvendo a inequação r^2 - 2 a r cos theta <= 0:
r (r - 2 a cos theta) <= 0
Isso implica que 0 <= r <= 2 a cos theta, considerando que a > 0 e cos theta >= 0. Portanto, os limites para r são de 0 a 2 a cos theta.

Passo 5

Agora, vamos encontrar os limites para theta. Como o círculo está centrado em (a, 0) e tem raio a, ele está à direita do eixo Y. O ângulo theta varia de -pi2 a pi2 para cobrir todo o círculo.

Passo 6

Com tudo isso, podemos reescrever a integral original em coordenadas polares. Lembrando que x = r cos theta, y = r sin theta e dA = r , dr , dtheta, a integral fica:
integral-pi2^pi2 integral0^2 a cos theta (r cos theta)(r sin theta) cdot r , dr , dtheta

Passo 7

Simplificando a expressão dentro da integral:
(r cos theta)(r sin theta) cdot r = r^3 cos theta sin theta
Então, a integral em coordenadas polares fica:
integral-pi2^pi2 integral0^2 a cos theta r^3 cos theta sin theta , dr , dtheta

Resposta

A integral em coordenadas polares é:
integral-pi2^pi2 integral0^2 a cos theta r^3 cos theta sin theta , dr , dtheta

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