Escreva a integral abaixo em coordenadas polares. (Não é necessário resolver a integral).
Passo 1
Beleza, vamos resolver um exercício de cálculo integral onde a gente precisa reescrever uma integral dupla em coordenadas polares. O enunciado da questão é:
Aqui, R é uma região no plano XY definida por um círculo com centro em
e raio
. Para resolver isso em coordenadas polares, vamos usar conceitos de geometria e transformação de coordenadas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região R. A equação
descreve um círculo com centro em
e raio
. Em coordenadas polares, onde
e
, precisamos reescrever essa equação para encontrar os limites de
e
.
Passo 3
Substituindo
e
por suas expressões em coordenadas polares na equação do círculo:
Vamos expandir e simplificar essa expressão:
Somando os termos semelhantes:
Sabemos que
, então a equação simplifica para:
Passo 4
Resolvendo a inequação
:
Isso implica que
, considerando que
e
. Portanto, os limites para
são de 0 a
.
Passo 5
Agora, vamos encontrar os limites para
. Como o círculo está centrado em
e tem raio
, ele está à direita do eixo Y. O ângulo
varia de
a
para cobrir todo o círculo.
Passo 6
Com tudo isso, podemos reescrever a integral original em coordenadas polares. Lembrando que
,
e
, a integral fica:
Passo 7
Simplificando a expressão dentro da integral:
Então, a integral em coordenadas polares fica:
Resposta
A integral em coordenadas polares é: