Calcule as integrais duplas:
integral duplaB(x^2+y^2) d x d y, onde B é o conjunto (x, y) in R^2 ; 1 <= x^2+y^2 <= 4.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
integral duplaBl(x^2+y^2r),dx,dy,
onde B=(x,y)inR^2:1<= x^2+y^2<=4. O conteúdo envolve mudança para coordenadas polares, já que a região é um anel circular.

Passo 2

Em coordenadas polares, x=rcostheta, y=rsintheta, e a condição 1<= x^2+y^2<=4 vira
1<= r^2<=4 Longrightarrow 1<= r<=2, 0<=theta<=2pi

Passo 3

Na mudança de variável, x^2+y^2=r^2 e o Jacobiano é r. Assim a integral fica
integral duplaBl(x^2+y^2r),dx,dy =integraltheta=0^2pi!integralr=1^2r^2,(r,dr,dtheta) =integral0^2pi!integral1^2r^3,dr,dtheta

Passo 4

Calculemos primeiro a integral em r:
integral1^2r^3,dr =l[r^44r]1^2 =2^4-1^44 =16-14 =154
Em seguida a integral em theta:
integral0^2pidtheta=2pi
Multiplicando, obtemos
integral duplaBl(x^2+y^2r),dx,dy =2picdot154 =15pi2

Resposta

15pi2

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