Determine as seguintes antiderivadas (integrais indefinidas).
integral 4 d xx^2+2 x+4

Passo 1

O enunciado pede a antiderivada da função
4x^2+2x+4
ou seja, calcular
integral 4,dxx^2+2x+4
O conteúdo envolve completar o quadrado no denominador e usar a primitive básica
integral duu^2+a^2 = 1aarctan!l(uar) + C

Passo 2

Vamos completar o quadrado em x^2+2x+4. Note que
x^2+2x+4 = (x+1)^2 + 4 - 1 = (x+1)^2 + 3

Passo 3

Fazemos a substituição
u = x+1, du = dx
A integral fica
integral 4,dx(x+1)^2+3 = 4 integral duu^2 + (raiz3)^2

Passo 4

Aplicando a fórmula
integral duu^2+a^2 = 1aarctan!l(tfracuar) + C
com a=raiz3, obtemos
4 cdot 1raiz3arctan!l(tfracuraiz3r) + C = 4raiz3arctan!l(tfracuraiz3r) + C

Passo 5

Voltando à variável original x, ou seja u = x+1, a antiderivada é
4raiz3arctan!l(tfracx+1raiz3r) + C

Resposta

integral 4,dxx^2+2x+4 = 4raiz3arctan!l(x+1raiz3r) + C

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