Calcule as integrais duplas:
, onde é o conjunto

Passo 1

O enunciado pede para calcular
I = integral duplaB e^,y - x^2,y - x^2,,dx,dy
onde
B=(x,y)inR^2 mid 1+x^2<= y<= 2+x^2,;y>= x+x^2
O truque é notar que a função integranda depende apenas de v=y-x^2. Vamos usar a mudança de variáveis
u = x, v = y - x^2,
para simplificar o integral.

Passo 2

Computamos o jacobiano da transformação (u,v)mapsto(x,y)=(u,;v+u^2). A matriz jacobiana é
partial(x,y)partial(u,v) = 1 & 0 2u & 1 ,
cujo determinante vale 1. Logo
dx,dy = du,dv,
e a integranda fica e^vv.

Passo 3

Precisamos descrever a região B em termos de (u,v). As condições originais são
  1. y>= 1+x^2;⟹; v>=1.
  2. y<=2+x^2;⟹; v<=2.
  3. y>= x+x^2;⟹; v+u^2>= u+u^2;⟹; v>= u.
    Para cada u, v deve satisfazer simultaneamente
1<= v<=2, v>= u
Isto define duas zonas em u:
  • Se u<1, então v>= u é automático sobre [1,2], logo vin[1,2].
  • Se 1<= u<=2, então v varia de v=u até v=2.
    Para u>2 não há v em [1,2] que satisfaça v>= u.

Passo 4

O integral vira
I = integralu=-infty^1!integralv=1^2e^vv,dv,du ;+;integralu=1^2!integralv=u^2e^vv,dv,du
Repare que o primeiro termo é
integralu=-infty^1!du;times;integralv=1^2e^vv,dv ;=;(infty);times;l[número finitor] ;=;infty ú
Ou seja, a porção para u<1 já faz o integral divergir.

Passo 5

Como a integral sobre u<1 +infty, não há cancelação possível nem segunda contribuição negativa. Portanto o integral total diverge.

Resposta

O integral diverge para +infty.

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