Calcule as integrais duplas:
, onde
é o conjunto
Passo 1
O enunciado pede para calcular
onde
O truque é notar que a função integranda depende apenas de
. Vamos usar a mudança de variáveis
para simplificar o integral.
Passo 2
Computamos o jacobiano da transformação
. A matriz jacobiana é
cujo determinante vale
1 . Logo
e a integranda fica
e^vv .
Passo 3
Precisamos descrever a região
B em termos de
(u,v) . As condições originais são
-
;⟹;y>= 1+x^2 .v>=1 -
;⟹;y<=2+x^2 .v<=2 -
;⟹;y>= x+x^2 ;⟹;v+u^2>= u+u^2 .v>= u
Para cada ,u deve satisfazer simultaneamentev
Isto define duas zonas em
u :
- Se
, entãou<1 é automático sobrev>= u , logo[1,2] .vin[1,2] - Se
, então1<= u<=2 varia dev atév=u .v=2
Para não háu>2 emv que satisfaça[1,2] .v>= u
Passo 4
O integral vira
Repare que o primeiro termo é
Ou seja, a porção para
u<1 já faz o integral divergir.
Passo 5
Como a integral sobre
u<1 dá
+infty , não há cancelação possível nem segunda contribuição negativa. Portanto o integral total diverge.
Resposta
O integral diverge para
+infty .