Calcule as integrais duplas dadas abaixo:
(f) integral0^ln 2 integral0^y x y^5 e^x^2 y^2 d x d y

Passo 1

O exercício pede calcular a integral dupla integral0^ln 2 !! integral0^y x,y^5,e^x^2y^2,dx,dy. O conteúdo envolvido é integração iterada e uso de substituição em integrais para simplificar a conta.

Passo 2

Para integrar em x (tratando y como constante), usamos a substituição abaixo para a integral interna:
t = x,y, dt = y,dx Longrightarrow dx = dty, x = ty

Passo 3

Substituindo em integral0^y x,y^5e^x^2y^2,dx obtemos
integral0^y x,y^5e^x^2y^2,dx = integral0^y^2 ty,y^5,e^t^2cdotdty = integral0^y^2 t,y^3,e^t^2,dt = y^3integral0^y^2 t,e^t^2,dt = y^32l(e^y^4-1r)

Passo 4

A integral dupla vira então
integral0^ln2y^32l(e^y^4-1r)dy = 12integral0^ln2y^3e^y^4,dy -12integral0^ln2y^3,dy

Passo 5

Para integral y^3e^y^4,dy fazemos u=y^4, du=4y^3dy, então
integral0^ln2y^3e^y^4,dy = 14l(e^(ln2)^4-1r), integral0^ln2y^3,dy = (ln2)^44

Passo 6

Substituindo de volta e simplificando, obtemos o valor final da integral dupla.

Resposta

e^(ln2)^4-1-(ln2)^48

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