Considere as funções f(x, y)=x^2+4 y^2-3 e r(t)=(2 cos t, sin t), t in[0,2 pi].
Esboce a curva gamma em R^2 que corresponde à imagem de r, marcando os pontos r(t) para t=0, pi / 2, pi e 3 pi / 2.

Passo 1

O enunciado pede para desenhar a curva γ em ℝ² dada pela parametrização r(t) = (2 cos t, sin t) no intervalo t∈[0,2π], marcando os pontos correspondentes a t=0, π/2, π e 3π/2. O conteúdo envolvido é curva paramétrica e reconhecimento de elipse.

Passo 2

Começamos identificando a equação implícita que a parametrização satisfaz. Como x=2 cos t e y=sin t, temos cos t = x/2 e sin t = y, e portanto
l(x2r)^2 + y^2 = cos^2 t + sin^2 t = 1

Passo 3

Isso mostra que γ é uma elipse centrada na origem, com semi-eixo horizontal 2 e semi-eixo vertical 1.

Passo 4

Agora calculamos os pontos especiais:
Para t=0:
r(0) = (2cos0,sin0) = (2,0)

Passo 5

Para t=\frac{\pi}{2}:
rl(tfracpi2r) = (2costfracpi2,sintfracpi2) = (0,1)

Passo 6

Para t=\pi:
r(pi) = (2cospi,sinpi) = (-2,0)

Passo 7

Para t=\tfrac{3\pi}{2}:
rl(tfrac3pi2r) = (2costfrac3pi2,sintfracpi2) = (0,-1)

Passo 8

Para esboçar, desenhe a elipse tfracx^24+y^2=1, marque os pontos (2,0), (0,1), (-2,0) e (0,-1) e conecte suavemente seguindo a orientação crescente de t.

Resposta

A curva γ é a elipse de equação tfracx^24+y^2=1 centrada na origem, com semi-eixos 2 (horizontal) e 1 (vertical), passando pelos pontos (2,0), (0,1), (−2,0) e (0,−1).

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