Considere as funções
e
.
Esboce a curva
em
que corresponde à imagem de
, marcando os pontos
para
e
.
Esboce a curva
Passo 1
O enunciado pede para desenhar a curva γ em ℝ² dada pela parametrização r(t) = (2 cos t, sin t) no intervalo t∈[0,2π], marcando os pontos correspondentes a t=0, π/2, π e 3π/2. O conteúdo envolvido é curva paramétrica e reconhecimento de elipse.
Passo 2
Começamos identificando a equação implícita que a parametrização satisfaz. Como x=2 cos t e y=sin t, temos cos t = x/2 e sin t = y, e portanto
Passo 3
Isso mostra que γ é uma elipse centrada na origem, com semi-eixo horizontal 2 e semi-eixo vertical 1.
Passo 4
Agora calculamos os pontos especiais:
Para t=0:
Para t=0:
Passo 5
Para t=\frac{\pi}{2}:
Passo 6
Para t=\pi:
Passo 7
Para t=\tfrac{3\pi}{2}:
Passo 8
Para esboçar, desenhe a elipse
, marque os pontos (2,0), (0,1), (-2,0) e (0,-1) e conecte suavemente seguindo a orientação crescente de t.
Resposta
A curva γ é a elipse de equação
centrada na origem, com semi-eixos 2 (horizontal) e 1 (vertical), passando pelos pontos (2,0), (0,1), (−2,0) e (0,−1).