Esboce a região de integração e calcule as integrais duplas dadas abaixo, trocando a ordem de integração, se necessário.
(a)
.
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema pede para a gente esboçar a região de integração e calcular a integral dupla
. Vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente integrais duplas e mudanças na ordem de integração. Vamos precisar entender como desenhar a região de integração e depois ver se é mais fácil trocar a ordem das integrais para facilitar o cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região onde estamos integrando. Temos que
varia de 0 a 2, e para cada
,
varia de
até 4. Isso significa que a região está acima da curva
e abaixo da linha
, para
entre 0 e 2.
Passo 3
Vamos desenhar isso para visualizar melhor:
- Desenhe o eixo
de 0 a 2. - Desenhe a parábola
. Para , ; para , . - Desenhe a linha horizontal
. - A região de integração é a área entre a parábola e a linha, de
a .
Passo 4
Agora, vamos ver se troca a ordem das integrais pode facilitar nosso cálculo. Originalmente, integramos primeiro em
e depois em
. Vamos tentar inverter isso: integrar primeiro em
e depois em
.
Para fazer isso, precisamos determinar os novos limites de integração:
-
varia de 0 a 4 (já que a linha superior é e inferior é ). - Para um valor fixo de
, varia de 0 até (já que implica ).
Então, a integral fica:
Passo 5
Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a
. Observamos que
é uma constante em relação a
, então podemos simplificar:
Integrando
em relação a
:
Então, a integral fica:
Passo 6
Agora, substituímos de volta na integral externa:
Para resolver essa integral, vamos usar uma substituição simples. Deixe
, então
, ou seja,
.
Passo 7
Fazendo a substituição:
Integrando
em relação a
:
Aplicando os limites de 0 a 16:
Resposta
A integral dupla
é igual a
.