Esboce a região de integração e calcule as integrais duplas dadas abaixo, trocando a ordem de integração, se necessário.
(a) integral0^2 integralx^2^4 x sin (y^2) d y d x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema pede para a gente esboçar a região de integração e calcular a integral dupla . Vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente integrais duplas e mudanças na ordem de integração. Vamos precisar entender como desenhar a região de integração e depois ver se é mais fácil trocar a ordem das integrais para facilitar o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região onde estamos integrando. Temos que varia de 0 a 2, e para cada , varia de até 4. Isso significa que a região está acima da curva e abaixo da linha , para entre 0 e 2.

Passo 3

Vamos desenhar isso para visualizar melhor:
  1. Desenhe o eixo de 0 a 2.
  2. Desenhe a parábola . Para , ; para , .
  3. Desenhe a linha horizontal .
  4. A região de integração é a área entre a parábola e a linha, de a .

Passo 4

Agora, vamos ver se troca a ordem das integrais pode facilitar nosso cálculo. Originalmente, integramos primeiro em integral0^4 integral0^raizy x sin(y^2) , dx , dy e depois em . Vamos tentar inverter isso: integrar primeiro em e depois em .
Para fazer isso, precisamos determinar os novos limites de integração:
  1. varia de 0 a 4 (já que a linha superior é e inferior é ).
  2. Para um valor fixo de , varia de 0 até (já que implica ).
Então, a integral fica:

Passo 5

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a integral0^raizy x sin(y^2) , dx = sin(y^2) integral0^raizy x , dx . Observamos que integral0^raizy x , dx = [ x^22 ]0^raizy = (raizy)^22 - 0^22 = y2 é uma constante em relação a sin(y^2) cdot y2 = y sin(y^2)2 , então podemos simplificar:
Integrando em relação a :
Então, a integral fica:

Passo 6

Agora, substituímos de volta na integral externa:
integral0^4 y sin(y^2)2 , dy = 12 integral0^4 y sin(y^2) , dy
Para resolver essa integral, vamos usar uma substituição simples. Deixe , então , ou seja, .

Passo 7

Fazendo a substituição:
12 integral0^4 y sin(y^2) , dy = 12 cdot 12 integral0^16 sin(u) , du = 14 integral0^16 sin(u) , du
Integrando integral sin(u) , du = -cos(u) + C em relação a 14 [ -cos(16) + cos(0) ] = 14 (1 - cos(16)) :
Aplicando os limites de 0 a 16:

Resposta

A integral dupla boxed1 - cos(16)4 é igual a .

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