Calcule as integrais duplas dadas abaixo:
integral-1^0 integral0^1+x x y d y d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla aí. O enunciado pede para calcular a integral de sobre a região definida por variando de -1 a 0 e variando de 0 a . Vamos precisar usar conceitos de cálculo integral, especificamente integrais duplas, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a ordem das integrais. A integral está escrita primeiro em relação a e depois em relação a . Isso significa que para cada valor de entre -1 e 0, varia de 0 até .

Passo 3

Vamos começar calculando a integral interna, que é em relação a integral0^1+x x y , dy :
Aqui, é tratado como uma constante porque estamos integrando em relação a .

Passo 4

Integrando integral x y , dy = x integral y , dy = x ( y^22 ) em relação a x ( (1 + x)^22 - 0^22 ) = x (1 + x)^22 :
Agora, avaliamos essa expressão de a :

Passo 5

Agora, substituímos a integral interna resolvida na integral externa:
integral-1^0 x (1 + x)^22 , dx
Podemos simplificar isso retirando o fator constante 12 integral-1^0 x (1 + x)^2 , dx de fora:

Passo 6

Vamos expandir (1 + x)^2 = 1 + 2x + x^2 para facilitar a integração:
12 integral-1^0 x (1 + 2x + x^2) , dx = 12 integral-1^0 (x + 2x^2 + x^3) , dx
Então, a integral fica:

Passo 7

Agora, vamos integrar termo a termo:
12 [ integral x , dx + 2 integral x^2 , dx + integral x^3 , dx ]
Calculando cada integral:
integral x , dx = x^22, 2 integral x^2 , dx = 2 ( x^33 ), integral x^3 , dx = x^44
Então:
12 ( x^22 + 2x^33 + x^44 ) g|-1^0

Passo 8

Avaliaremos essa expressão nos limites de -1 a 0:
Para 12 ( 0 + 0 + 0 ) = 0 :
12 ( 12 + -23 + 14 ) = 12 ( 612 - 812 + 312 ) = 12 ( 112 ) = 124
Para :

Resposta

A integral dupla vale .

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