Beleza, vamos resolver essa integral dupla aí. O enunciado pede para calcular a integral de sobre a região definida por variando de -1 a 0 e variando de 0 a . Vamos precisar usar conceitos de cálculo integral, especificamente integrais duplas, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a ordem das integrais. A integral está escrita primeiro em relação a e depois em relação a . Isso significa que para cada valor de entre -1 e 0, varia de 0 até .
Passo 3
Vamos começar calculando a integral interna, que é em relação a :
Aqui, é tratado como uma constante porque estamos integrando em relação a .
Passo 4
Integrando em relação a :
Agora, avaliamos essa expressão de a :
Passo 5
Agora, substituímos a integral interna resolvida na integral externa:
Podemos simplificar isso retirando o fator constante de fora:
Passo 6
Vamos expandir para facilitar a integração:
Então, a integral fica:
Passo 7
Agora, vamos integrar termo a termo:
Calculando cada integral:
Então:
Passo 8
Avaliaremos essa expressão nos limites de -1 a 0:
Para 12 ( 0 + 0 + 0 ) = 0 :