Inverta a ordem de integração:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa inverter a ordem de integração de uma integral dupla que está assim:
Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Integral, especificamente em integrais duplas. Para fazer isso, vamos precisar entender bem como estão os limites de integração e como desenhar a região que estamos integrando.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região de integração no plano
. A integral original vai de
até
(isso é o primeiro limite, externamente), e para cada
,
varia de
até
.
Então, se pensarmos em
indo de 0 a 1, para cada ponto de
,
começa em
e vai até
. Isso forma uma espécie de “faixa” inclinada no gráfico.
Passo 3
Agora, queremos inverter a ordem de integração, ou seja, primeiro integrar em relação a
e depois em relação a
. Para isso, precisamos determinar como ficam os novos limites de
e
.
Vamos ver os limites de
. Olhando para a integral original, quando
,
vai de 0 a 3. E quando
,
vai de 1 a 4. Portanto,
varia de 0 a 4.
Agora, para cada
, vamos determinar os limites de
. A condição original
nos diz que:
-
→ -
→
Além disso, sabemos que
está entre 0 e 1. Então, os limites de
são o máximo entre
e 0, e o mínimo entre
e 1.
Passo 4
Vamos dividir
em intervalos onde esses limites mudam:
-
Para
entre 0 e 1: -
varia de 0 até .
-
-
Para
entre 1 e 3: -
varia de 0 até 1.
-
-
Para
entre 3 e 4: -
varia de até 1.
-
Passo 5
Com base nisso, a integral com a ordem de integração invertida fica dividida em três partes:
Passo 6
Resumindo, a nova ordem de integração envolve primeiro integrar
nas faixas determinadas acima para cada intervalo de
, e depois integrar em relação a
de 0 a 4, dividindo em três integrais conforme necessário.
Resposta
A integral com a ordem de integração invertida é: