Inverta a ordem de integração:
integral0^1 integraly^y+3 f(x, y) d x d y

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa inverter a ordem de integração de uma integral dupla que está assim:
integral0^1 integraly^y+3 f(x, y) , dx , dy
Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Integral, especificamente em integrais duplas. Para fazer isso, vamos precisar entender bem como estão os limites de integração e como desenhar a região que estamos integrando.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região de integração no plano . A integral original vai de até (isso é o primeiro limite, externamente), e para cada , varia de até .
Então, se pensarmos em indo de 0 a 1, para cada ponto de , começa em e vai até . Isso forma uma espécie de “faixa” inclinada no gráfico.

Passo 3

Agora, queremos inverter a ordem de integração, ou seja, primeiro integrar em relação a e depois em relação a . Para isso, precisamos determinar como ficam os novos limites de e .
Vamos ver os limites de . Olhando para a integral original, quando , vai de 0 a 3. E quando , vai de 1 a 4. Portanto, varia de 0 a 4.
Agora, para cada , vamos determinar os limites de . A condição original nos diz que:
  1.  →  
  2.  →  
Além disso, sabemos que está entre 0 e 1. Então, os limites de são o máximo entre e 0, e o mínimo entre e 1.

Passo 4

Vamos dividir em intervalos onde esses limites mudam:
  1. Para entre 0 e 1:
    • varia de 0 até .
  2. Para entre 1 e 3:
    • varia de 0 até 1.
  3. Para entre 3 e 4:
    • varia de até 1.

Passo 5

Com base nisso, a integral com a ordem de integração invertida fica dividida em três partes:
integral0^1 integral0^x f(x, y) , dy , dx + integral1^3 integral0^1 f(x, y) , dy , dx + integral3^4 integralx - 3^1 f(x, y) , dy , dx

Passo 6

Resumindo, a nova ordem de integração envolve primeiro integrar nas faixas determinadas acima para cada intervalo de , e depois integrar em relação a de 0 a 4, dividindo em três integrais conforme necessário.

Resposta

A integral com a ordem de integração invertida é:
integral0^1 integral0^x f(x, y) , dy , dx + integral1^3 integral0^1 f(x, y) , dy , dx + integral3^4 integralx - 3^1 f(x, y) , dy , dx

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