Calcule as integrais duplas dadas abaixo:
integral-pi4^pi4 integral0^1(x cos 2 y) d x d y

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular uma integral dupla:
integral-pi4^pi4 integral0^1 x cos 2y , dx , dy
Aqui, estamos lidando com cálculo de integrais duplas, que é um tópico da matéria de Cálculo Integral. Para resolver isso, vamos integrar primeiro em relação a e depois em relação a .

Passo 2

Vamos começar integrando a função integral0^1 x cos 2y , dx em relação a cos 2y integral0^1 x , dx , mantendo constante. A integral de em relação a é simples:
Como é constante em relação a , podemos tirá-la da integral:

Passo 3

Agora, vamos calcular a integral de integral0^1 x , dx = [ x^22 ]0^1 = 1^22 - 0^22 = 12 de 0 a 1:
cos 2y times 12 = 12 cos 2y
Portanto, a expressão fica:

Passo 4

Agora, precisamos integrar o resultado em relação a integral-pi4^pi4 12 cos 2y , dy no intervalo de 12 integral-pi4^pi4 cos 2y , dy a :
Podemos tirar a constante para fora da integral:

Passo 5

Agora, vamos resolver a integral de integral cos 2y , dy = 12 sin 2y + C em relação a 12 [ sin (2 times pi4) - sin (2 times -pi4) ] :
12 [ sin (pi2) - sin (-pi2) ] = 12 [ 1 - (-1) ] = 12 times 2 = 1
Aplicando os limites de integração:
Simplificando:

Resposta

O valor da integral dupla é .

Exercícios relacionados