Calcule as integrais duplas dadas abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla aqui. A questão pede para calcular:
Estamos lidando com cálculo de integrais duplas, especificamente sobre uma região definida no plano XY. Para resolver isso, vamos integrar primeiro em relação a
e depois em relação a
.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a integral interna, que é em relação a
:
Aqui,
é tratado como uma constante porque estamos integrando em relação a
.
Passo 3
Vamos separar a integral em duas partes:
Isso facilita a resolução, já que podemos integrar cada termo separadamente.
Passo 4
Calculando a primeira parte:
Aqui, integramos
em relação a
, o que resulta em
vezes a diferença dos limites de integração.
Passo 5
Agora, calculando a segunda parte:
A integral de
sobre um intervalo simétrico em torno de zero resulta em zero.
Passo 6
Então, a integral interna simplifica para:
Passo 7
Agora, vamos integrar isso em relação a
:
Para resolver essa integral, podemos fazer uma substituição.
Passo 8
Vamos usar a substituição
. Então,
, ou seja,
.
Passo 9
Substituindo na integral:
Note que os limites de integração mudaram conforme a substituição.
Passo 10
Integrando
:
Resposta
O valor da integral dupla é
.