Calcule as integrais duplas dadas abaixo:
integral0^1 integral-raiz1-x^2^raiz1-x^2(x-y) d y d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla aqui. A questão pede para calcular:
integral0^1 integral-raiz1-x^2^raiz1-x^2 (x - y) , dy , dx
Estamos lidando com cálculo de integrais duplas, especificamente sobre uma região definida no plano XY. Para resolver isso, vamos integrar primeiro em relação a e depois em relação a .

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a integral interna, que é em relação a integral-raiz1-x^2^raiz1-x^2 (x - y) , dy :
Aqui, é tratado como uma constante porque estamos integrando em relação a .

Passo 3

Vamos separar a integral em duas partes:
integral-raiz1-x^2^raiz1-x^2 x , dy - integral-raiz1-x^2^raiz1-x^2 y , dy
Isso facilita a resolução, já que podemos integrar cada termo separadamente.

Passo 4

Calculando a primeira parte:
x integral-raiz1-x^2^raiz1-x^2 dy = x [ y ]-raiz1-x^2^raiz1-x^2 = x ( raiz1-x^2 - (-raiz1-x^2) ) = 2x raiz1 - x^2
Aqui, integramos em relação a , o que resulta em vezes a diferença dos limites de integração.

Passo 5

Agora, calculando a segunda parte:
integral-raiz1-x^2^raiz1-x^2 y , dy = [ y^22 ]-raiz1-x^2^raiz1-x^2 = (raiz1-x^2)^22 - (-raiz1-x^2)^22 = 1 - x^22 - 1 - x^22 = 0
A integral de sobre um intervalo simétrico em torno de zero resulta em zero.

Passo 6

Então, a integral interna simplifica para:
2x raiz1 - x^2 - 0 = 2x raiz1 - x^2

Passo 7

Agora, vamos integrar isso em relação a integral0^1 2x raiz1 - x^2 , dx :
Para resolver essa integral, podemos fazer uma substituição.

Passo 8

Vamos usar a substituição . Então, , ou seja, .

Passo 9

Substituindo na integral:
integralu=1^u=0 raizu cdot (-du) = integral0^1 raizu , du
Note que os limites de integração mudaram conforme a substituição.

Passo 10

Integrando integral0^1 u^1/2 , du = [ u^3/232 ]0^1 = 23 (1^3/2 - 0^3/2) = 23 :

Resposta

O valor da integral dupla é .

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