Calcule as integrais duplas dadas abaixo:
integral1^2 integralraizy^1 x y d x d y

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla juntos! O enunciado pede para calcular a integral
integral1^2 integralraizy^1 x y , dx , dy
Aqui, estamos lidando com cálculo integral, especificamente integrais duplas. Vamos precisar entender como integrar funções de duas variáveis e a ordem de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos integrar em relação a integralraizy^1 x y , dx , mantendo y integralraizy^1 x , dx como constante. Isso significa que vamos tratar como um número fixo enquanto integramos em relação a .
A integral interna é:
Como é constante em relação a , podemos tirar da integral:

Passo 3

Agora, vamos integrar integral x , dx = x^22 em relação a y [ 1^22 - (raizy)^22 ] = y [ 12 - y2 ] = y ( 1 - y2 ) = y (1 - y)2 :
Aplicando os limites de integração de a 1:

Passo 4

Agora, temos que integrar o resultado em relação a integral1^2 y (1 - y)2 , dy = 12 integral1^2 (y - y^2) , dy de 1 a 2:
12 ( integral1^2 y , dy - integral1^2 y^2 , dy )
Vamos separar a integral:

Passo 5

Integrando cada termo:
integral y , dy = y^22
integral y^2 , dy = y^33
Aplicando os limites de 1 a 2:
12 ( [ 2^22 - 1^22 ] - [ 2^33 - 1^33 ] ) = 12 ( [ 2 - 0.5 ] - [ 83 - 13 ] )
Simplificando:
12 ( 1.5 - 73 ) = 12 ( 32 - 73 ) = 12 ( 9 - 146 ) = 12 ( -56 ) = -512

Resposta

O valor da integral dupla é .

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